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1、2022/11/13,1,第二章 不定方程,2.1 一次不定方程,2022/11/13,2,一、问题的提出百钱买百鸡,鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”,分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：,消去z得到方程,这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数或正整数解，这种方程组称为不定方程。,2022/11/13,3,小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ）,分析： 这类问题实质上是“不
2、定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。,A、 、 B、 、 C、 、 D、 ,设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有,60m+90n=360.,2022/11/13,4,特别地，二元一次不定方程的一般形式为：,2022/11/13,5,二元一次不定方程的一般形式为：,注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。,2022/11/13,6,问题1：所有的二元一次不定方程都有解吗？,定理1 有整数解,即为方程1的解。,证明：,问题2：二元一次不定方程的
3、解法？,2022/11/13,7,二、二元一次不定方程解的形式：,定理2 若2式有整数解,则2式的一切解可以表示为：,（3）,(2)定理2给出了二元一次不定方程的通解的一般形式。因此，解决问题的关键在于求一个特解。,2022/11/13,8,例2 写出下列方程通解的形式：,2022/11/13,9,三、求二元一次不定方程整数解的一般方法,先求一个特殊解，再根据定理2写出其通解。,对于方程(2),若有解，则可化为,一般地，利用辗转相除法，得到,2022/11/13,10,例3 求方程 的一个特殊解。,解：用7、4进行辗转相除法,2022/11/13,11,例4 求 1的一切整数解。,原方程可以化
4、为,先求 3 的一个整数解。,1073734，3749+1， 从而,故3的一个整数解是,2的一个整数解是,原方程的整数解为,2022/11/13,12,代数运算，观察法,例5 求 的一切整数解。,即得到原方程的一个整数解,从而所求的一切整数解为,2022/11/13,13,2022/11/13,14,2.2 多元一次不定方程,一、多元一次不定方程有解的判定,定理1 方程,1有解,2022/11/13,15,定理1 方程,假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。,令其一整数解为,故该方程有解，记为,进而得到 是原方程的一个整数解。,2022/11/13,16,二、多元一次不定方程求解的方法
5、,例1 求不定方程 x 2y 3z = 7 的所有整数解。,（1）的解为,（2）的解为,把(4)代入(3),消去t,得,注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.,2022/11/13,17,一般地，我们可以给出多元一次不定方程的求解方法.,2022/11/13,18,二、多元一次不定方程求解的方法,若d不能整除N，则原方程无整数解；,否则，继续下面的步骤。,(2)构造如下的n-1个方程,(3)求出每个方程的所有整数解含参数ti，,再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，,从而得到原方程的所有整数解。,2022/11/13,19,例2 求方程 的一切整数解。,原方程有整数解。,列出如下的2个
6、方程：,(1)的解为,(2)的解为,把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为,2022/11/13,20,4.3 商高不定方程,2022/11/13,21,一、问题的提出,我们把满足二次不定方程,的正整数解称为勾股数.,早在我国古代数学书周髀算经中，就载有“勾三股四弦五”，实际上说明该方程存在整数解。方程1的非零整数解如何去求，其解具有怎样的特征，是这里要回答的问题。,周髀算经是中国流传至今最早的一部数学著作,同时也是一部天文学著作。现传本大约成书于西汉时期(公元前一世纪)。也有史家认为它的出现更早，是孕于周而成于西汉，甚至更有人说它出现在纪元前1000年。,2022/11/13,
7、22,二、二次不定方程 解的形式,为简单起见，我们先求方程1满足下述条件(2)的解,定理1：,2022/11/13,23,定理1的证明：,不论z如何取值，z2也不可能表示为该形式。,讨论同(2).,2022/11/13,24,定理1虽然给出了勾股数的一些特征，如何进一步写出任意的勾股数呢？,引理 不定方程,的一切正整数解，可以写成下面的形式,充分性显然；,必要性的证明如下：,2022/11/13,25,定理2：,(5),充分性：,2022/11/13,26,必要性：,定理2：,(5),2022/11/13,27,Fermat 大定理,约于1637年，在Diophantus Arithmetic
8、a (Book 2,Problem VIII)的旁白上，Pierre de Fermat 写道：,“不可能把一个立方数分成两个立方数，或把一个四次幂分成两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分成两个同一次的幂；对此，我发现了一个殊堪称道的证明，但这里的空白太小，容不下。”,2022/11/13,28,相关高次方程解的判定,定理3不定方程,证明反证,不可能！,2022/11/13,29,定理3中使用的证明方法称为无穷递降法，常用于,判定方程的可解性.,2022/11/13,30,推论 方程,没有满足 的整数解。,证: 反证,2022/11/13,31,例3. 求方程x2 xy 6 = 0的整数解。,解：由x(x y) = 6得,从而(x, y) 的取值为：,或(3, 1)，或(3, 1)，或(6, 5)，或(6, 5)。,(1, 5)，或(1, 5)，或(2, 1)，或(2, 1)，,2022/11/13,32,高次不定方程的初等解法：,余数分析法：例1(P194),因式分解法：例2(P194),约数分析法：例3(P194),奇偶分析法：例5(P195),判别式法： 例6(P196),
