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1、等角定理,复习,公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平 面内.,公理2：经过不在同一条直线上的三点， 有且只有一个平面,公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它 们还有其他公共点，这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线.,公理4：平行于同一直线的两条直线平行。,3. 空间两条直线的位置关系有三种：,平行直线,相交直线,异面直线,在同一个平面内，没有公共点的两条直线。,在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。,不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。,记作：a/b,记作：,在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 如图
2、,ABA/B/,BCD/C/, 则1=2, 或1+3=1800,定理: 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,a,b,O,a1,b1,a,b是两异面直线，若在空中任取一点O，过O作两异面直线的平行线a1,b1,则a1,b1所成的锐角或直角的大小一定吗？为什么？,在空中再任意取一点O2，作a2a 、b2b.那么a1b1,a2b2所成的直角或锐角相等吗？这说明了什么问题？,a,b,O,a1,b1,O2,a2,b2,分别与异面直线平行的相交直线a1b1所成的直角或锐角只与异面直线的位置有关，与O点位置无关。,a,b是两异面直线，在空中任取一点O，过O作两异面直线的平行线a
3、1,b1,则称a1,b1所成的锐角或直角为：,a,b,O,a,1,b,1,两异面直线a,b所成的角。,定义,判断正方体中每对异面直线所成的角是多少？,1。 A1B与D1C1,2。 A1B与C1C,3。 A1B与CD,4。 A1B与C1D,5。 A1B与B1D1,45,45,45,帮助解答,4、 A1B与C1D所成的角即A1B与 所成的角，为 。,5、 A1B与B1D1所成的角即A1B与 所成的角，三角形 为 ，所以A1B与B1D1所成的角为 。,AB1,BD,A1BD,正三角形,90,60,返回,第4题,第5题,a,b,b1,a1,O,特殊地，若a1,b1所成的角为直角，也就是说异面直线所成的
4、角等于90时，称：,两异面直线互相垂直,1、和一直线垂直的直线有几条？,返回,2 、互相垂直的直线一定相交吗?,若ab，bc，则a，c的位置关系是什么？这样的b有几条？请同学们合作，用笔比量一下。,例4 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且已知AB=CD=3， ,求异面直线AB和CD所成的角.,例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值.,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M
5、,解：,为什么？,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），,例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值.,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,解：,为什么？,M,B,A1C1与BD1所成角的余弦值为,方法归纳：,平移法,连A1M，在A1O1M中,即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.,由勾股定理得：,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.,在A1C1E中，,A1C1与BD1所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的方体B1F，,
