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1、简单线性规划(1),则用不等式可表示为:,解：此平面区域在x-y=0的右下方， x-y0,它又在x+2y-4=0的左下方， x+2y-40,它还在y+2=0的上方， y+20,1，求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。,应该注意的几个问题：,1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，,2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。,3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。,否则应画成实线。,可行域上的最优解,第二节,一.复习回顾,1.在同一坐标系上作出下列直线:,2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7,x,Y,o,2.
2、作出下列不等式组的所表示的平面区域,y,问题1：x 有无最大（小）值？,问题2：y 有无最大（小）值？,问题3：2x+y 有无最大（小）值？,二.提出问题,把上面两个问题综合起来:,设z=2x+y,求满足,时,求z的最大值和最小值.,y,直线L越往右平移,t随之增大.,以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.,线性目标函数,线性约束条件,线性规划问题,任何一个满足不等式组的（x,y）,可行解,可行域,所有的,最优解,有关概念,由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y 的
3、线性约束条件。欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。,三、课堂练习,(1)已知求z=2x+y的最大值和最小值。,5,5,1,O,x,y,y-x=0,x+y-1=0,1,-1,y+1=0,A(2,-1),B(-1,-1),练习2、已知求z=3x+5y的最大值和最小值。,5,5,1,O,x,y,1,-1,5x+3y=15,X-5y=3,y=x+
4、1,A(-2,-1),B(3/2,5/2),解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；,一、引例：,某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？,几个结论：,1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，
5、也可能在边界处取得。2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义在y轴上的截距或其相反数。,在关数据列表如下：,设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y,利润,何时达到最大？,使z=2x+y取得最大值的可行解为 ，且最大值为 ；,复习引入,1.已知二元一次不等式组,（1）画出不等式组所表示的平面区域；,满足 的解(x,y)都叫做可行解；,z=2x+y 叫做 ；,（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的 ；,y=-1,x-y=0,x+y=1,2x+y=0,(-1,-1),(2,-1),使z=2x+y取得最小值的可行解 ，且最小值为 ；这两个最值
6、都叫做问题的 。,线性约束条件,线性目标函数,线性约束条件,(2,-1),(-1,-1),3,-3,最优解,例题分析,例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?,列表：,5,10,4,600,4,4,9,1000,设生产甲、乙两种产品.分别为x
7、 t、yt,利润总额为z元,例题分析,列表：,把题中限制条件进行转化：,约束条件,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,目标函数：,设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元,xt,yt,例题分析,解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z=600 x+1000y. 元,那么,10 x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600 x+1000y.,作出以上不等式组所表示的可行域,作出一组平行直线 600 x+1000y=t，,10 x+4y=300,5x+4y=200,4
8、x+9y=360,600 x+1000y=0,M,答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。,(12.4,34.4),经过可行域上的点M时,目标函数在y轴上截距最大.,90,30,75,40,50,40,此时z=600 x+1000y取得最大值.,例题分析,例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：,解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,作出可行域（如图）,目标函数为 z=x+y,今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问
9、各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。,X张,y张,例题分析,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出一组平行直线z=x+y，,目标函数z= x+y,当直线经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8),调整优值法,2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解.,作直线x+y=12,答（略）,例题分析,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,经过可行域内的整点B(3,9
10、)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.,答:(略),作出一组平行直线t = x+y，,目标函数t = x+y,打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,不等式组 表示的平面区域内的整数点共有（ ）个,巩固练习1:,1 2 3 4 x,y43210,4x+3y=12,在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：,1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，
11、并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解,解线性规划应用问题的一般步骤：,2）设好变元并列出不等式组和目标函数,3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；,4）在可行域内求目标函数的最优解,1）理清题意，列出表格：,5)还原成实际问题,(准确作图，准确计算),咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g已知每天原料的使用限额为奶
12、粉3600g ，咖啡2000g糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？,解：将已知数据列为下表：,设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则,作出可行域：目标函数为：z =0.7x +1.2y作直线l:0.7x+1.2y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，此时z =0.7x +1.2y取最大值解方程组 得点C的坐标为（200，240）,二元一次不等式表示平面区域,直线定界，特殊点定域,简单的线性规划,约束条件,目标函数,可行解,可行域,最
13、优解,求解方法：画、移、求、答,练习巩固,1.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；,（1）怎样安排生产可以获利最大？,（2）若只生产书桌可以获利多少？,（3）若只生产书橱可以获利多少？,由上表可知：（1）只生产书桌，用完木工板了，可生产书桌 6002=300张,可获利润:80300=24000元,但木料没有用完,（2）只生产书橱，用完方木料，可生产书橱900.2=450 张,可获利润120450=5400
14、0元,但木工板没有用完,分析：,300,600,A(100,400),1.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；,（1）怎样安排生产可以获利最大？,（2）若只生产书桌可以获利多少？,（3）若只生产书橱可以获利多少？,（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元， 则约束条件为,Z=80 x+120y,作出不等式表示的平面区域，,当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80100+120400=5600
15、0元,（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利 24000元；,（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。,将直线z=80 x+120y平移可知：,900,450,求解：,4,x=8,y=4,x+y=10,4x+5y=30,320 x+504y=0,2.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元，B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低
16、，最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）,解：设每天调出的A型车x辆，B型车y辆，公司所花的费用为z元，则,Z=320 x+504y,作出可行域中的整点，,可行域中的整点（5，2）使Z=320 x+504y取得最小值，且Zmin=2608元,作出可行域,2.附加练习,深圳市福田区水泥制品厂生产两种水泥，已知生产甲种水泥制品1吨，需矿石4吨，煤3吨；生产乙种水泥制品1吨，需矿石5吨，煤10吨，每1吨甲种水泥制品的利润为7万元，每1吨乙种水泥制品的利润是12万元，工厂在生产这两种水泥制品的计划中，要求消耗的矿石不超过200吨，煤不超过300吨，甲乙两种水泥制品应生产多少，能使利润达到最大值？,
