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1、第3章样本数据特征的初步分析,第3章 样本数据特征的初步分析,第3.1节 样本数据结构的基本特征：频次与频率第3.2节 观察刻度级样本数据结构的茎叶图与直方图方法第3.3节 样本数据的位置特征：对数据中心的描述第3.4节 样本数据的离散特征第3.5节 样本数据特征的综合表达：箱形图,第3.1节 样本数据结构的基本特征：频次与频率,一个误区：聚焦于数据值（样本值）及其变化另一个重要问题：相同值出现的频次、频率。这是数据集合的最基本的结构特征。本节讨论这一结构特征：频次（Frequency）与频率（Percentage，或Relative Frequency）两个紧密相关的不同的概念：1）样本数据
2、自身（不论什么测度级的数据）2）同一个数据值（样本值）出现的次数（频次）。,3.1.1 频次与频率的基本概念频次：在一个数据集合中，同一个数据值（样本值）出现的次数。频率：某样本值的频率=该样本值出现的频次/n（该数据集合的数据总个数）一个例子（下页）,例3.1.1从某城市抽出来的30个商店中，查出某商品的价格数据：9.98 10.02 10.00 10.04 10.01 9.99 10.05 10.04 10.06 10.0110.03 9.99 9.97 9.93 10.01 10.03 10.03 10.02 10.05 9.999.95 9.96 9.98 10.00 9.97 10.
3、01 10.00 9.99 9.98 10.00 （感觉如何？乱！）,排序：最基本的整理。9.93 9.95 9.96 9.97 9.97 9.98 9.98 9.98 9.99 9.99 9.99 9.99 10.00 10.00 10.00 10.00 10.01 10.01 10.01 10.01 10.02 10.02 10.03 10.03 10.03 10.04 10.04 10.05 10.05 10.06简单之至？认为容易的，可以试试手工对300个数据排序简单：基于软件。,基于排序，能够简单统计频次：价格（元）9.93 9.94 9.95 9.96 9.97 9.98 9.99
4、 10.00 次数： 1 0 1 1 2 3 4 4 频率% 3.33 0 3.33 3.33 6.67 10.00 13.33 13.33价格（元）10.01 10.02 10.03 10.04 10.05 10.06次数： 4 2 3 2 2 1频率% 13.33 6.67 10.0 6.67 6.67 3.33故意增加了“9.94元”这个刻度排成一行，看清楚了频率结构特征。今后，统计频次、频率，都由机器完成。,上例是刻度级的数据，下面看一个名义级数据的例子。例3.1.3 抽样调查后，得到客户家具的基色调的数据：R、Y、R、G、Y、Y、W、Y、G、G、R、Y、Y、R、W G、Y、R、W、Y
5、、G、G、B、R、Y、Y、W、R、R、WR、Y、R、G、Y、Y、W、Y、G、G、R、Y、Y、R、W G、Y、R、W、Y、G、G、B、R、Y、Y、W、R、R、W其中，R表示暗红色，Y表示淡黄褐色，G表示浅绿色，W表示白色，B表示黑色。统计出各个颜色出现的频率如下：,当然，也可以统计出顺序级数据集合的频次与频率结构。,3.1.2 观察样本数据基本特征（频次与频率）的图形方法1.表示频次与频率的饼图（Pie Chart）每个不同的样本值所占据的圆心角的大小由下式计算：在圆圈中，给每个不同的样本值一个与其频次（或频率）相当的圆心角： 某样本值对应的圆心角=该样本值的频率360,家具基色调（名义级数据）
6、,某单位职工文化程度的结构（顺序级数据）,2.表示频次与频率的条形图图见下页。非常简单：1）横坐标：样本数据的不同值。顺序级以上，横坐标上的样本数据应从小到大排列。若是刻度级的，则在排序中，要注意长度的刻度，保持一致的比例。2）纵坐标：相应样本值出现的频次或频率。,某商品在30个商店的价格例（注意间距）,某科室职工文化程度例（有顺序，无间距）,家具基色调例（横坐标的色彩无顺序关系）,3.1.3 样本数据集合的基本特征的延伸：累积频率（Cumulative Percentage）1.累积频率的概念（简单）设X1X2Xm，是样本数据集合中的不重复的样本值（mn样本个数）。若把样本值小于等于某个样本
7、数据Xi的频率值，都累加起来，就得到“小于等于Xi”的累积频率。2.表格法表示累积频率（以价格问题为例）：,价格（元）9.93 9.94 9.95 9.96 9.97 9.98 9.99 10.00 次数： 1 0 1 1 2 3 4 4 频率% 3.33 0 3.33 3.33 6.67 10.00 13.33 13.33累积频率% 3.33 3.33 6.67 10.00 16.67 26.67 40.00 53.33价格（元）10.01 10.02 10.03 10.04 10.05 10.06次数： 4 2 3 2 2 1频率% 13.33 6.67 10.0 6.67 6.67 3.
8、33累积频率% 66.67 73.33 83.33 90.00 96.67 100.00讨论：顺序级数据能够计算累积频率吗？ 名义级数据能够计算累积频率吗？为什么？（答案见教材第72页）,3.累积频率的条形图表示把条形图的纵坐标改成累积频率即可。商品价格例：,第3.2节 观察刻度级样本数据结构的茎叶图与直方图方法,3.2.1茎叶图（Stem-and-Leaf Plot）的概念与作法1.概念“茎-叶”的含义：按照某规则，把所有的样本值分成“茎节”和“叶”两个部分。表达为：“茎节叶”的形式。“茎节”末位上的1所代表的实际值，就是“茎节”的宽度。,例如，可用茎叶法，把123表达为1.23（此时，茎节
9、宽=100）此时，123（样本值）=1.23（茎叶表达）100（茎节宽）问：若茎节宽度为10，如何表达123？,2.例题与茎叶图的作法例3.2.1 某班级男生的身高（厘米）171 182 175 177 178 181 185 168 170 175 177180 176 172 165 160 178 186 190 176 163 183问：若以100cm为茎节宽？茎节是多少？对吗？结论：样本数据集合中的“茎节”必须是有变化的茎节宽应为10cm把所有的数据都表达为“茎节叶”形式后，把相同茎节的数据合并为“茎节叶1叶2”形式（叶，要从小到大排列），再把不同的茎节从小到大纵向排列，就得到茎叶图
10、：,茎 叶16 0,3,5,817 0,1,2,5,5,6,6,7,7,8,818 0,1,2,3,5,619 0进一步策略（并注明频次）为：频次 茎 叶 4 16 0,3,5,8 11 17 0,1,2,5,5,6,6,7,7,8,8 6 18 0,1,2,3,5,6 1 19 0这就是身高数据集合的茎叶图。问：如果有的茎节右边的叶子太多了，怎么办？,把“茎节”砍短一点。例如，把每个茎节分成两段（L、H），有频次 茎 节 2 16L 03 2 16H 58 3 17L 012 8 17H 55667788 4 18L 0123 2 18H 56 1 19L 0“茎节长度”的概念：茎节长度=允
11、许覆盖最大值-允许覆盖最小值+1上例中的茎节长度为5（cm）：04,59上例中的L、H可以省略。事实上，上例的茎节是不必砍短的，叶并不多注意：茎节砍短时，要注意茎节等长的原则,3.2.2 直方图（Histogram）的概念与作法,1.条形图的弱点，当刻度级的数据的精度相对高，使得不重复的数据量非常大时，反而让人看不清数据集合的结构。例如，身高问题 看不清分布的规律,如果我们对数据适当分组，再用矩形的高度来表示各组的数据的个数或频率，就有（可看到清楚的分布规律）：这就是直方图。各区间长度是5cm，起点是157.5cm，终点时192.5cm。,2.直方图：适用于大量不重复样本值的数据集合。 在绘制
12、直方图时，如何对数据分组，如何确定区间长度、区间个数？如何确定区间起点？参见教材。今后软件可自动完成分组和绘图。需要掌握的是：直方图与条形图的区别，各适用于什么数据特点？,作直方图时，在区间长度确定后，如何确定区间个数？（数据集合中最大值-数据集合中的最小值）/区间长度，其值4舍5入后加1为组的个数。作直方图时，如何确定最左端区间的中心位置？取出样本数据集合中的最小值；确定备选的起始区间的中心位置；在备选区间的中心位置中，哪个与最小值接近，就确定为数据分组的起始区间。,第3节 样本数据的位置特征对数据中心的描述,样本数据的测度级别的不同，需要不同的表示“数据集合中心”的概念。本节将介绍“样本中
13、位数”、“样本众数”和“样本均值”三个重要的描述数据集合中心位置的基本概念。,3.3.1 样本众数（Sample mode）样本众数定义1：样本数据集合中出现频次最高的那个样本值，称为样本众数。在一般情况下，“样本众数”被简称为“众数”。单一众数：P.67。复众数：P.67。无众数：P.68从条形图，或者频率表、频次表来判断。,众数定义2：对刻度级的数据，在等区间分组的直方图中，最高的矩形（即峰Peak）所表示的数据区间，称为该数据集合的众数区间，简称众数。如：众数区间，也有单一众数和复众数之分。问：众数适用于什么测度？广义与侠义,3.3.2 样本中位数（Sample median）样本中位数
14、： 设，样本数据集合中的所有数据的排序结果为X1X2Xn，n为样本容量。样本中位数，就是上述序列中，处于“正中间位置”上的数据。两个要素：位与数。正中间位置“号码”=（n+1）0.5,例1:17.0 17.1 17.2 17.5 17.5 17.6 17.6 Me=17.5例2:16.8 17.0 17.1 17.2 17.5 17.5 17.6 17.6 Me=17.35问：中位数适用于什么测度？ 分奇偶个数。,3.3.3 样本均值（Sample Mean）样本均值（Sample Mean）样本均值仅适用于刻度级的数据。样本数据集合的样本均值定义为：式中，Xi为样本观察值。,第3.4节 样本
15、数据的离散特征,描述数据集合的离散特征的两种方法：一、点状描述，如明确样本数据集合中的最小值和最大值等；二、区间描述（基于差值的描述），如样本数据集合中的最大值与最小值之差。,3.4.1 对样本数据离散特征的点状描述：极值、四分点与百分位点,1.极大值（Maximum）与极小值（Minimum）极大值与极小值，从一定视角反映了样本数据集合中样本的离散情况。问：极大值、极小值适用于什么测度？另一个位与数的问题：,2.下四分点（Lower quartile）与上四分点（Upper quartile）1）上、下四分点的概念下四分点使由小到大排序后的数据集合的左边部分，包含25%的样本总个数，右边部分
16、包含75%的样本总个数。上四分点使由小到大排序后的数据集合的左边部分，包含75%的样本总个数，右边部分包含25%的样本总个数。上、下四分点在一定意义上反映了样本数据的离散情况。,2）上、下四分点（及中位数）的位置Q1：下四分点，Q3：上四分点，Q2=Me:中位数，n：该数据集合的数据总个数。下四分点Q1的位置=（n+1）0.25正中间Q2的位置=（n+1）0.5上四分点Q3的位置=（n+1）0.753）上、下四分点（及中位数）的值当Q1、Q2、Q3的位置为整数时，相应整数位置上的样本值，就是当Q1、Q2、Q3的值。,当其不为整数时：Q1=Q2位置左边的样本值+（Q1位置右边的样本值-Q1位置左
17、边的样本值）Q1位置的小数部分Q3=Q3位置左边的样本值+（Q3位置右边的样本值-Q3位置左边的样本值）Q3位置的小数部分,本页公式，可以不讲3）上、下四分点（及中位数）的值公式表达之二：Q1=Q1位置左边的样本值+（Q1位置右边的样本值-Q1位置左边的样本值）（n+1）0.25-（n+1）0.25Q3=Q3位置左边的样本值+（Q3位置右边的样本值-Q3位置左边的样本值）（n+1）0.75-（n+1）0.75式中，是取整函数，例如，5.75=5,4）例题例3.4.1数据：99.8,99.9,100.1,100.2，求Q1、Q2、Q3的值。下四分点Q1的位置=（4+1）0.25=1.25，该位置
18、左边有1个数据（占总数的25%）。中位数Q2的位置=（4+1）0.5=2.5，该位置左边有2个数据（占总数的50%）。上四分点Q3的位置=（4+1）0.75=3.75，该位置左边有3个数据（占总数的75%）。,以下是Q1、Q2、Q3的位置的图形表示：,计算Q1、Q2、Q3的值：Q1=99.8+（99.9-99.8）0.25=99.825Q2=Me=99.9+（100.1-99.9）0.5=100.0Q3=100.1+（100.2-100.1）0.75 =100.175当Q1、Q3的位置不是整数时（也就是n+1不能被4整除时），Q1、Q3的值是通过四则运算得到的，所以用Q1、Q3表示离散状况，仅
19、适用于刻度级的数据。当Q1、Q3的位置是整数时（即n+1能被4整除时），Q1、Q3的值就是相应位置上的值，所以用Q1、Q3表示离散状况，适用于顺序级以上的数据。,有关上四分点、下四分点和中位数的手工计算，不是很重要的。很重要的是上四分点、下四分点和中位数的概念。计算将由SPSS软件完成。百分位点的概念，很容易从四分位点推广得到。,3.4.2 对样本数据离散特征的区间描述：极差、四分距与离差“区间描述”，必然要做加减运算，因此，区间描述仅适用于刻度级的数据。1.极差（Range）极差=极大值-极小值它反映了样本数据在数轴上的分布范围。2.四分位距（Interquartile range）四分位距
20、（Iqr）=Q3-Q1它反映了样本数据集合中样本值处于中间大小的1/2的数据的分布范围。,3.样本离差（Sample deviations）与离差平方和（Sun of squared deviations）样本离差被定义为每个样本与样本均值之差：xi- ，i=1,2，n样本离差又称样本中心化数据。例3.4.1的样本数据为：99.8,99.9,100.1,100.2,易知均值为100.0，于是，样本离差（中心化数据）依次为：-0.2，-0.1，0.1,0.2。,反映数据集合对其均值的总偏差：所有的样本离差之和，存在正负相互抵消的问题，其和必然为零，不可能反映整个样本数据对样本均值的偏离情况，所以
21、采用离差平方和的方式来反映样本数据对均值的总偏离情况。离差平方和被定义为：,3.4.3 离散状况的统计值描述1：样本方差（Sample variance）为什么用离差平方和除以n-1，不除以样本个数？样本标准差（Standard Deviation）的定义是,3.4.4 离散状况的统计值描述2：变异系数用方差或者标准差来反映数据对平均值的离散状况，有一个重要的缺点：不同的度量单位对数字大小有重要影响，只有剔除度量单位的影响后，标准差之间的比较，才有意义。样本变异系数定义为：样本标准差与样本均值之比：,第3.5节 样本数据特征的综合表达：箱形图,箱形图法是综合表达数据的中心特征和离散特征的图形方
22、法。3.5.1箱形图的基本构造从这个图还可以看出样本数据值分布的偏斜（Skewness）情况。如果左箱体和左胡须都短，则表明数据集聚是左侧，样本数据值的分布向左偏斜。反之，就是向右偏斜。图3.5.1是个横卧的箱形图。当然，叶可以竖起来摆放。两者的效果是相同的。,箱形图的构成,3.5.1 箱形图,修正箱形图的构成,3.5.2 修正的箱形图,例3.2.1身高数据的箱形图例3.5.1在例3.2.1中，加身高213厘米的人,在如下茎叶图中 N16 茎宽0.1 1 59 7 3 60 148 5 61 02669 4 62 0247 2 63 58 1 64 3a.茎宽0.1是什么意思？b.在这张茎叶图上显示了多少个数据？c.列出头四个数据值。,课堂练习,
