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1、1,华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学课件,Liner Algebra,2,教学基本要求,1、提前预习，积极听课；,2、认真完成作业，计入平时成绩；,3、随机点名考勤，考勤结果计入平时成绩；,5、联系电话：13318703321； e-mail：,4、总评成绩=平时（占30%）+期末（占70%）,3,引 言,线性代数是以行列式、矩阵为工具，研究线性变量之间关系的一门数学分科，它包括求值、求解及性质的讨论。密切相关学科：运筹学（线性规划）,4,第一章 矩阵,第四章 向量的内积与二次型,第六章 Matlab 软件的应用,第二章 向量与线性方程组,第五章 线性空间与线性变换,第三章
2、矩阵的特征与特征向量,教 学 计 划,10学时,6学时,4学时,8学时,4学时,略,5,第一章 矩 阵,1 矩阵及其运算,3 行列式,2 矩阵的初等变换与初等矩阵,4 行列式和逆矩阵的应用,6,矩阵及其运算,第一节,引例一,某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如下表：,数 表,抽象,描述各种产品各季度的产值揭示产值随季度的变化规律、年产量等,引例二,某航空公司在A，B，C，D四城市之间开辟了若干航线，右图表示了四城市之间的航班图，若从A到B有航班，则用带箭头的线连接A与B：,数 表,抽象,反映四城市之间的交通连接情况,1.1.1 线性方程组与矩阵的概念,m个方程，n个未知数,线
3、性方程组的一般形式为,数 表,定义1.1 (P2),由mn个数aij (i=1,2,m; j=1,2,n) 排成的m行n列的数表,第一行,第二行,第一列,第二列,行矩阵：只有一行的矩阵也称为行向量,列矩阵：只有一列的矩阵也称为列向量,元素全是零的矩阵叫做零矩阵，简记为Omn,特例,行数与列数相等的矩阵，称为方阵。有n行n列的矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵,特例,13,几种特殊形式的方阵,上三角形矩阵,下三角形矩阵,三角形矩阵,14,数量矩阵,对角阵,单位矩阵,几种特殊形式的方阵,diagonal,15,行数、列数分别相等的矩阵，称为同型矩阵。,同型矩阵,如：,只有矩阵 与矩阵 同型,16,定义1.
4、2（P4),那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B,相等矩阵,17,(1),(2),(3),判断下列各组矩阵是否相等,课堂练习,设 ，已知A=B，,求 的值,解 由A=B，可知,解得,一、 矩阵的加减法,定义1.3（P4),那么矩阵A与矩阵B的和矩阵记作A+B,规定为,对应位置上的元素相加,1.1.2 矩阵的基本运算及性质,注意：只有同型矩阵才能相加,20,矩阵的加法满足下列运算规律 (P4),（i）A+B=B+A (交换律）,（ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律）,(iii) A+O=O+A=A,-A称为矩阵A的负矩阵，显然有,A+(-A)=(-A)+A=O,定义矩阵的减法：A
5、-B=A+(-B),对应位置上的元素相减,二、 矩阵的数乘运算,定义1.4 (P5),矩阵的每一个元素都要乘以这个数,运算率 (P5),22,设两个商店销售三种电视机的数量（百台）由矩阵A表示,长虹,康佳,创维,百佳,华润,三种电视机的零售单价（千元）由矩阵B表示,长虹,康佳,创维,三、 矩阵的乘法,则两商场销售电视机所得收益分别是多少？,定义1.5 (P5),三、 矩阵的乘法,设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等,则由元素构成的mn矩阵C=(cij)mn称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB,矩阵乘法运算的注意事项：,（1） 两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如
6、第i行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i行第j列）的元素。,为保证规则（1），左矩阵的列数应与右矩阵的的行数相等，否则两矩阵不能相乘。,（3） 乘积矩阵的行数与左矩阵相同，乘积矩阵的列数与右矩阵相同。,25,例 计算下列矩阵的乘积，并观察结果，探讨性质,（1）设,，求AB和BA。,求AB、BA和BC。,例,设,，求AB。,矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义,解,例,设,AB,求AB和BA,BA,AB和BA都意义，但不同型，故ABBA.,解,例,求AB、BA和BC,AB,BA,(1) AB与BA都有意义，且同型
7、，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但AC,可见，矩阵乘法不满足消去率,BC,解,ABBA , BA=BC,例,求AB和BA,AB,BA,AB =BA,如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换,解,矩阵的乘法虽不满足交换律、消去率，但满足下列运算率（P6）：,(),(),(),(),记,则线性方程组(1)可通过矩阵的乘法表示成矩阵形式,系数矩阵,未知数列矩阵,常数列矩阵,矩阵A表示两车间生产三种产品的数量,矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量,车间一,车间二,面包,蛋糕,饼干,面包,蛋糕,饼干,糖,面粉,则如何用矩阵表示两车间需要
8、消耗的原材料的数量？,方阵的幂,设A是n阶方阵，k为正整数，则,表示,k个A连乘, 如,显然，只有方阵的幂才有意义,四、转置矩阵 (Transpose),行、列对调,例,运 算 律,可推广到有限多个的情形,定义1.6 (P6) 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作 或,对称矩阵,如果方阵A满足,就称A为对称矩阵,例如,定义1.7 (P10),设A为n阶方阵,AB=BA=I,就称为A可逆矩阵，,如果存在n阶方阵B，使得,并称B为A的逆矩阵（简称A的逆),记作,定理1.1,如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的,证明,设B和C都是A的逆矩阵，,则AB=BA=I, AC=
9、CA=I,B,=BI,=B(AC),=(BA)C,=IC,=C,1.1.4 逆矩阵,证明 (1),相似可证,性质1.2,（3）如果A为可逆矩阵，则A-1也可逆，且,性质1.3,如果A和B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且,证明,故由推论1便知AB可逆，且,可推广到有限个情形,39,逆矩阵的性质（P10-P11）,1、逆矩阵是唯一存在的。,6、若A可逆，则A-1也可逆，且 .,3、若A可逆，数 ，则,4、若A、B为同阶可逆矩阵，则,5、若A可逆，则,（此性质可将定义简化）,40,1.1.3 分块矩阵及其运算,用穿过矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个子块，以这些子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。,例如
10、,则A可记作,称A为以子块A11、A12、A13、A21、A22、A23为元素的分块矩阵。,41,如：, 分块矩阵,42,如：, 分块矩阵,列分块,行分块,43,1、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中，再进行实质上的矩阵运算。,2、在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件。 如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时还须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行数。,分块矩阵的运算：,44,分块矩阵的加减运算,设A、B同型，且采用完全相同的分块方法，得,则,注意：A i
11、j与B i j同型,45,分块矩阵的数乘及转置,设将A分块得,则,46,分块矩阵的乘法运算,设A、B矩阵分块得,则,其中,注意： A的列块数=B的行块数；A i k的列数=B k j的行数,47,例8 设,将A、B适当分块，计算AB.,解 将A、B作如下分块：在二、三行之间插入横线， 在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则,48,则,而,所以,49,分块对角矩阵,如果可将矩阵A进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵A为分块对角矩阵。,其中A i i 为方阵子块，其余子块均为零子块,分块对角矩阵的性质,若A可逆，则,50,练习 P39 习题一 1.1；1.2（3）；1.4；1.6预习 P11-P16 矩阵的初等变换与初等矩阵,作业,
