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1、第3章 线性方程组,二、齐次线性方程组解的结构与解法,三、非齐次线性方程组解的结构与解法,下页,一、线性方程组的同解变换,3.1 线性方程组的同解变换,含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为,若b=(b1, b2, bm)o ，则称(1)为非齐次线性方程组；若b=(b1, b2, bm)o ，即,(2),则称(2)为齐次线性方程组, 或(1) 的导出组.,下页,(1),代数方程,可用矩阵形式表示为 AX= b,对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为 AX=o.,其中，,下页,含有m个方程n个未知量的线性方程组,(1),矩阵方程,可用向量形式表示为,对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为,
2、其中，,下页,含有m个方程n个未知量的线性方程组,(1),向量方程,称为方程组的系数矩阵.,称为方程组的增广矩阵.,下页,系数矩阵与增广矩阵,方程组的解为,于是得到,x2 =3-2x3,=-1,=-7,x1=3+2x2-4x3,x3=2,解：,r1r2,r2-3r1,r3+r1,r3-2r2,消元法解方程组过程,下页,由上述求解过程可看出，对方程组的化简施行了三种运算：,用一个非零数乘以方程；,用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去.,互换两个方程的位置；,我们称上述三种运算为线性方程组的初等变换. 显然，对方程组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解.,利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的
3、方程组，再利用回代法解出未知量的过程，叫做高斯消元法.,可以看出，对方程组（1）施行的初等变换，与未知量无关，只是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于对方程组 系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等 变换.,下页,线性方程组的初等变换.,例1.,r1r2,r3-2r2,用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程.,消元法与矩阵的初等行变换,下页,消元法与矩阵的初等行变换,下页,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程.,总结:对方程组施行的初等行变换，与未知量无关，只是对未知
4、量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换化为行最简形矩阵.,下页,消元法与矩阵的初等行变换,第2节 齐次线性方程组解的结构,2.1 齐次线性方程组有非零解的条件,齐次线性方程组为 AXo ,则AXo可表示为,若把矩阵A按列分块为,根据向量组相关性的定义，有,定理1 齐次线性方程组AXo有非零解的充要条件是：矩阵 的列向量组a1, a2, ，an线性相关.,其中,即r(A)n.,下页,齐次线性方程组AXo只有唯一零解的充要条件是：矩阵的列向量组a1, a2, ，an线性无关. 即r(A)=n.,定理1 齐次线性方程组AXo有非零解的充要条
5、件是：矩阵的列向量组a1, a2, ，an线性相关.,即r(A)n.,齐次线性方程组AXo只有唯一零解的充要条件是：矩阵的列向量组a1, a2, ，an线性无关. 即r(A)=n.,推论1 如果齐次方程组中方程的个数小于未知量的个数，则该方程组必有非零解.,推论2 n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.,下页,2.2 齐次线性方程组解的性质,性质1 若x1，x2 都是齐次线性方程组AXo的解，则X x1+x2也是它的解.,这是因为,A(x1+x2),Ax1Ax2,=o.,o o,性质2 若x是齐次线性方程组AXo的解，k为实数，则Xkx也是它的解.
6、,这是因为,A(kx),k(Ax),o.,k(o),推论 如果x1, x2, , xs是齐次线性方程组AXo的解，则其线性组合,仍是AXo的解.,为任意常数.,其中,下页,基础解系的概念,定义3 设x1, x2, , xs 都是AXo的解,并且 (1) x1, x2, , xs线性无关； (2) AXo的任一个解向量都能由x1, x2, , xs线性表示，则称x1, x2, , xs为线性方程组AXo的一个基础解系.,定理2 设A是mn矩阵，若r(A)=rn，则齐次线性方程组AXo的基础解系含有n-r个解向量.,即当r(A)=rn时，齐次线 性方程组AXo解向量组的秩为n-r.,下页,2.3
7、齐次线性方程组解的结构,通解（方程组的全部解）可以表示为：,证：因为r(A)= r , 所以可利用初等行变换把A化为行最简形矩阵, 不失一般性设其为：,由此得到原方程组的等价方 程组(同解方程组)：,进而得到方程组用自由未知量表示的一般解：,下页,从而得到方程组的n-r个解向量:,由(*)式分别得到相应的解,令,由此得到方程组用自由未知量表示的一般解：,下页,下证,是方程组,的一个基础解系.,由左下式可以看出,的后n-r个分量，就是n-r个n-r维单位向量，它们是线性无关的，因而添加了r 个分量的向量组也是线性无关的.,下页,从而得到方程组的n-r个解向量:,由(*)式分别得到相应的解,令,先
8、证明向量组,线性无关.,再证明方程组的任意一个解,线性表示.,设,是方程组的任一解.,方程组的n-r 个解向量:,下页,都可由,则,下页,所以，,是方程组的一个基础解系.,求解齐次线性方程组流程图,下页,系数矩阵A,阶梯形矩阵B,r(A)=n,唯一零解,行最简形矩阵C,令自由未知量构成的向量取基本单位向量组,求出基础解系,写出通解,初等行变换,初等行变换,Y,N,方程组用自由未知量表示的一般解,初等行变换,确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图,下页,对应的变量为约束未知量(r个),对应的变量为自由未知量(n-r个）,例1解线性方程组,解：,由于r(A)=3=n,所以方程组只有零解，即,
9、下页,齐次方程组AX0，当r(A)=n时，只有零解.,因为秩(A)=24，所以方程组有非零解.,解：,下页,解：,一般解为,令,得基础解系,通解为,下页,解：,一般解为,通解为,得基础解系,令,下页,根据向量组线性组合的定义，有,定理3 非齐次线性方程组AXb有解的充要条件是：列向量b是系数矩阵A的n个列向量a1, a2, ，an的线性组合.,.,下页,第3节 非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组为 AXb ,则AXb可表示为,若把矩阵A按列分块为,其中,3.1 非齐次线性方程组有解的条件,性质3 若h1，h2 是AXb的解，则h1-h2 是其导出方程组AXo的解.,这是因为,A(h1-
10、h2),Ah1-Ah2,=o., b - b,性质4 若h是AXb的解，x导出方程组AXo的解, 则x+h是AXb的解.,这是因为,A(xh),AxAh, ob = b .,下页,3.2 非齐次线性方程组解的性质,其中，k1, k2, , kn -r 为任意常数.,定理4 设h0是AX=b的一个特解，x1, x2, , xn-r是其导出方程组AX=o的基础解系，则AX=b的通解为,下页,3.3 非齐次线性方程组解的结构,证明: 设h是AX=b的任意一个解，则h -h0是其导出方程组AX=o的一个解，从而可用AX=o的基础解系x1, x2, , xn-r表示，即 h -h0k1x1k2x2+ k
11、n-rxn-r ,于是AX=b的任一解可表示为 hh0+k1x1k2x2+ kn-rxn-r , k1, k2, , kn-r为任意常数.,定理3 非齐次线性方程组AXb有解的充要条件是：,求解非齐次线性方程组流程图,下页,增广矩阵(Ab),阶梯形矩阵B,r(Ab)=r(A),方程组无解,行最简形矩阵C,确定自由未知量及约束未知量,给出一般解,求AX=o的基础解系,写出通解,初等行变换,N,Y,r(Ab)=n,唯一解,初等行变换,Y,N,求AX=b的一个特解,例5解线性方程组,(A b)=,解：,下页,显然 r(A)=2，r(Ab)=3,即r(A)=2r(Ab)，所以方程组无解.,解：,(x2
12、，x4为自由未知量)，,得方程组的特解为,由于 ，,令,方程组有无穷多组解，其一般解为,对应齐次方程组的一般解为,令,下页,基础解系为,得方程组的特解为,令,对应齐次方程组的一般解为,令,方程的通解为,(k1，k2是任意常数) .,下页,例7.已知线性方程组为,讨论参数 p, t 取何值时,方程组有解？无解？有解时求通解.,(1)当2t时，即t-2时，方程组无解；,(2)当2t时，即t-2时，方程组有解.,解：,(A b)=,下页,当8p, 即p8时,通解为,(k为任意常数).,下页,一般解为,(1)当2t时，即t-2时，方程组无解；,(2)当2t时，即t-2时，方程组有解.,通解为, 当8p
13、=,即p=8时,对应方程组的一般解为,(k1,k2为任意常数) .,下页,例8 已知向量 是非齐线性方程组,的三个解，求该方程组的通解.,解 设该非齐线性方程组为AX=b. h1,h2,h3由于是AX=b的解，所以,是其对应齐次线性方程组AX=0的解.因向量对应的分量不成比例，故,线性无关.因此,AX0的基础解系所含向量的个数(4-r(A)2，即r(A)2；,又由于A中有二阶子式,则r(A)2.所以r(A)=2.,即AX0的基础解系含有2个向量，,是AX0的基础解系,所以AX=b的通解为,下页,1. 设A为n阶方阵，若齐次线性方程组AX=o有非零解，则它的系数行列式（ ）,2. 设X是AXb的
14、解， X是其对应齐次方程AXo的解，则XX是（ ）的解,一、填空题,1. n元齐次线性方程组AXo存在非零解的充要条件是（ ） A的列线性无关； A的行线性无关； A的列线性相关； A的行线性相关,2. 设x，x是AX=o的解，h，h是AXb的解，则（ ） xh是AXo的解； hh为AXb的解； xx是AXo的解； x- x是AXb的解,二、单选题,=0,AX=b,下页,三、判断题（1）无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩等于未知量的个数，则方程组就有唯一解；（2）n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩阵满秩；（3）非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个
15、数必等于未知量的个数；（4）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有非零解；（5）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解；（6）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩.,(错),(对),(对),(对),(错),(错),下页,作业： 107页 1(4)(5) (6) 3(2)(3) (4),结束,定理 给定n维列向量组b，a1，a2， ，am ，向量b可由向量组a1，a2， ，am 线性表示的充要条件是方程组AK= b有解. 特别地，若方程组AK= b有唯一解，则线性表示式是唯一的.,补充例 设,b能否用a1，a2，a3线性表示.若能,写出线性组合式.,解 设bk1a1k2a2
16、k3a3 ， 得非齐次线性方程组,由于 故方程组有唯一解. b可由能否用a1，a2，a3唯一线性表示.解得,所以,下页,例8 若A，B均为n阶方阵，ABO，则r(A)+r(B)n. 证 设矩阵B的列向量为b1,b2,bn，则 A(b1,b2,bn)=(0,0,0)于是Abj0 （j1，2，n) 即B的列向量b1,b2,bn是齐次线性方程组AX=0的解向量. 设r(A)=r，则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r 个解向量，于是 向量组b1,b2,bn的秩n-r，即r(B)n-r，于是 r(A)+r(B)n.,下页,例9 设 求一个秩为2的三阶方阵，使AB=O.,解 设矩阵B的列向量为b1
17、,b2,b3，由ABO得 A(b1,b2,b3)=(0,0,0)由例8得, B的列向量是AXO的解向量.,易见r(A)=1, 于是可取AX=0的两个线性无关的解向量作为B的前两列，第三列可取的任一解向量.AX0基础解系为,所以所求B为,下页,第4章 矩阵的对角化与二次型的化简,一、矩阵的特征值与特征向量,二、相似矩阵与矩阵的相似对角化,下页,三、二次型的概念,五、正交变换与二次型的标准形,六、惯性定律与正定二次型,四、合同变换与二次型的标准形,方程(lE-A)Xo的解都是特征值l的特征向量吗？,定义1 设A是n阶方阵，如果存在数l和n维非零列向量X满足 AXlX，则称l为A的特征值，称向量X为
18、A的对应于特征值l的特征向量., |lE-A|0,矩阵 lE-A 称为 A 的特征矩阵； l 的 n 次多项式 |lE-A| 称为 A 的特征多项式； 方程 |lE-A|0 称为 A 的特征方程.,(lE-A)Xo,AXlX,注意：如果X是A的对应于特征值l的特征向量，则,问题：,特征值l的特征向量有多少？,怎样求矩阵的特征值和特征向量？, lX-AXo,下页,第1节 矩阵的特征值与特征向量,1.1 特征值特征向量的概念与计算,方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.,解：矩阵的特征方程为,|lE-A|,=(l-4)(l+2)=
19、0，,矩阵A的特征值为 l14，l2-2 ., 对于特征值l14,解齐次线性方程组(4E-A)Xo，,于是，矩阵A对应于l14的全部特征向量为,(c1不为0) .,下页,解：矩阵的特征方程为,|lE-A|,=(l-4)(l+2)=0，,矩阵A的特征值为 l14，l2-2 .,对于特征值l2-2，解齐次线性方程组(-2E-A)Xo，,于是，矩阵A对应于l2-2的全部特征向量为,(c2不为0) .,下页,方程 |lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)Xo的每个非零解都是l对应的特征向量.,解：矩阵的特征方程为,=(l-2)(l-1)2=0，,矩阵A的特征值为 l1l2=1 ，
20、l32 ., 对于特征值l1 l2 1，解线性方程组(E-A)Xo，,于是，A的对应于l1 l2 1的全部特征向量为,(c1不为0) .,下页,解：矩阵的特征方程为,l+1,-1,0,=(l-2)(l-1)2=0，,矩阵A的特征值为 l1l2=1 ，l32 ., 对于特征值l32，解线性方程组(2E-A)Xo，,于是，A的对应于l32的全部特征向量为,(c2不为0) .,下页,的特征值与特征向量.,|lE-A|,=(l+2)2(l-4)=0，,矩阵A的特征值为 l1l2=-2, l34 ., 对于特征值l1l2=-2, 解线性方程组(-2E-A)Xo,解：矩阵的特征方程为,= (l+2),于是
21、，A的对应于l1l2=-2的全部特征向量为,(c1,c2不全为0) .,下页, 对于特征值l3=4 ，解线性方程组(4E-A)Xo，,于是，A的对应于l34的全部特征向量为,解：矩阵的特征方程为,=(l+2)2(l-4)=0，,矩阵A的特征值为 l1l2=-2, l34 .,|lE-A|,的特征值与特征向量.,(c3不为0) .,下页,性质1 如果n 阶方阵A的全部特征值为l1,l2, ,ln (k重特征值算作k个特征值)，则 l1+l2+ +ln= Tr(A); 其中,Tr(A)=a11+ a22+ a33+ ann , 称为矩阵A的迹. l1l2 ln|A|,下页,推论：n阶方阵可逆的充分
22、必要条件是A的特征值不等于零.,证明：,1.2 特征值与特征向量的性质,证明: 由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|0，则A的任一个特征值都不为零,若X是A的属于特征值l的特征向量，则 Al，两端同乘A-1,并整理得 A-1X= l-1,即l-是A-的特征值，X也是A-的对应于l-的特征向量.,性质2 设l是可逆方阵A的一个特征值，X是它对应的特征向量，则l0 ， l-1 是A-1的一个特征值，且X也是A-1的对应于l-1的特征向量,下页,性质3设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是一个正整数，则lm是Am的一个特征值，X为对应的特征向量,下页,证明: 由于Al，两端都左乘A得
23、A2lA,把Al代入上式得 A2l(l)= l2，依次类推可得 Amlm，即lm是Am一个特征值，为对应的特征向量,即 若f (x)是一个多项式，则f (l)是f (A)的特征值,下页,推论 设l是方阵A的一个特征值， X为对应的特征向量，则,是矩阵,的一个特征值(m为正整数)， X为对应的特征向量.,特别，若,则必有，,证明：,证明: 因为A2=A ，所以A2-A=o, 设A的特征值为l ，则由性质4之推论可得l 2- l =0，解得，l 10， l 21. 证毕.,例7. 设3阶矩阵A的三个特征值分别为l1=1, l2=0, l3= -1, 求矩阵B=A2+3A+2E的特征值.,下页,例6
24、. 设n阶矩阵A满足A2=A，证明A有特征值为0或1.,解：令B=f(A)=A2+3A+2E，则由性质4之推论可知f (l)是f (A)的特征值，从而得矩阵B的三个特征值分别为：,性质4 设X1, X2, Xm都是矩阵A的对应于特征值l的特征向量,如果它们的线性组合 k1X1+k2X2+ kmXmo,则k1X1+k2X2+ kmXm也是矩阵A的对应于特征值l的特征向量,下页,特征向量的性质,证明：,性质5 n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，对应的特征向量X1，X2， ，Xm线性无关,下页,证明:(用数学归纳法),性质5 n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2， ，lm，对应的特征向
25、量X1，X2， ，Xm线性无关,性质6 矩阵A的m个不同的特征值所对应的m组线性无关的特征向量组并在一起仍然是线性无关的。,性质7 设0是n阶方阵A的一个t重特征值，则0对应的特征向量集合中线性无关的向量个数不超过t.,补充性质,下页,由性质6和性质7知:n阶方阵A至多有n个线性无关的特征向量.,性质8 设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值,证明：,| lE-AT |,= | (lE-A)T |,= | (lE-A) |，,即A与AT 有相同的特征多项式，,所以它们的特征值相同, 已知三阶方阵A的三个特征值为，-，则 |A|（ ）， A-的特征值为（ ）， AT的特征值为（ ）， A2+2
26、A+E的特征值为（ ）, 设Ak=0，k是正整数，则A必有一特征值为（ ） , 若A2A，则A的特征值为（ ） , 设A是3阶方阵，已知方阵E-A，E+A，3E-A都不可逆，则A的特征值为（ ）, 已知三阶矩阵A的特征值为，-，则A-5E（ ） ,- 6,-1/2, 1/3, -,4, 1, 16,0,0, 1,1, -1, 3,-72,下页,练习题,作业： 136页 1 2 3,结束,4E-A,因为特征矩阵,所以齐次线性方程组(4E-A)XO的一般解为x1=x2，,返回,-2E-A,因为特征矩阵,所以齐次线性方程组(-2E-A)XO的一般解为5x1 =- x2 ，,返回,因为特征矩阵,E-A
27、,所以齐次线性方程组(E-A)XO的一般解为,返回,因为特征矩阵,2E-A,所以齐次线性方程组(2E-A)XO的一般解为,返回,为什么?,因为特征矩阵,-2E-A,所以齐次线性方程组(-2E-A)XO的一般解为x1=x2 - x3，,返回,因为特征矩阵,4E-A,所以齐次线性方程组(-2E-A)XO的一般解为,返回,例4试证：n阶O矩阵的特征值为零. 证：由 |lE-O| |lE|=ln0，必有l=0 .,下页,例5试证：n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零. 证：必要性. 如果A是奇异矩阵，则|A|0 .于是|0E-A|-A|(-1)n|A|0，即0是A的一个特征值. 充分性. 设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X1 .由定义，有 AX10X1o (X1o)， 所以齐次线性方程组AXo有非零解X1 ,由此可知|A|0，即A为奇异矩阵.,问题：对角矩阵的特征值是什么？,下页,
