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1、矩阵的秩,一、矩阵的秩的概念,定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式,显然，mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个,概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式,与元素a12相对应的余子式,相应的代数余子式,矩阵 A 的一个 2 阶子块,矩阵 A 的一个 2 阶子式,定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记
2、作 R(A),规定：零矩阵的秩等于零,矩阵 A 的一个 3 阶子式,矩阵 A 的 2 阶子式,如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零 ,定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A),根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果
3、存在的话）也都等于零 因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,规定：零矩阵的秩等于零,矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数,显然，若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) t 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| 当|A|0 时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵当|A| = 0 时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) ,矩阵 A 的一个 2 阶子式,矩
4、阵 AT 的一个 2 阶子式,AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) ,例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解：在 A 中，2 阶子式 ,A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ,例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零,以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式,，因此 R(B) = 3 ,还存在其它3 阶非零子式吗？,例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解（续）：B 还有其它 3 阶非零子式，例如,结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,二、矩
5、阵的秩的计算,例：求矩阵 A 的秩，其中 ,分析：在 A 中，2 阶子式 ,A 的 3 阶子式共有 (个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的,一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 .,行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.,一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.,两个等价的矩阵的秩是否相等？,定理：若 A B，则 R(A) = R(B) ,证明思路：证明 A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)R(B) B 也可经由一次初等行变换变为 A，则 R(B)R(A)，于是 R(A) = R(B) 经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的
6、矩阵的秩仍然不变设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为 BT ，从而 R(AT) = R(BT) 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ,第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)R(B) ,证明：设 R(A) = r ，且 A 的某个 r 阶子式 D 0 当 或 时，在 B 中总能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1 由于D1 = D 或 D1 = D 或 D1 = kD，因此 D1 0 ，从而 R(B) r 当 时，只需考虑 这一特殊情形,返回,第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)R
7、(B) ,证明（续）：分两种情形讨论：(1) D 中不包含 r1 中的元素 这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) r (2) D 中包含 r1 中的元素这时 B 中与 D 相对应的 r 阶子式 D1 为,若p = 2，则 D2 = 0，D = D1 0 ，从而 R(B) r ；若p2，则 D1kD2 = D 0 ，因为这个等式对任意非零常数 k 都成立，所以 D1、D2 不同时等于零，于是 B 中存在 r 阶非零子式 D1 或 D2，从而 R(B) r ，即R(A)R(B) ,定理：若 A B，则 R(A) = R(B) ,应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩
8、阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩,例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式,解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ,第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列,，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列,R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式,因此这就是 A 的一个最高阶非零子式,分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯形矩阵为 ，则 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及 R(B) ,例：设 ，求矩阵 A 及矩阵
9、B = (A, b) 的秩,解：,R(A) = 2R(B) = 3,矩阵的秩的性质,若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，则 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，则 R(A)R(B)n ,例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(AE)R(AE)n ,例：若 Amn Bnl =
10、 C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ,附注：当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵本题中，当 C = O，这时结论为：设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O ,例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(AE)R(AE)n ,证明：因为 (AE) (EA) = 2E，由性质“R(AB)R(A)R(B) ”有R(AE)R(EA)R(2E) = n 又因为R(EA) = R(AE)，所以R(AE)R(AE)n ,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(
11、C) ,解：因为 R(A) = n， 所以 A 的行最简形矩阵为 ，设 m 阶可逆矩阵 P ，满足 于是因为 R(C) = R(PC)，而 ，故R(B) = R(C) ,行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.,分析：若 R(A) = n，则 A 的行最简形矩阵应该有 n 个非零行；每个非零行的第一个非零元为 1 ；每个非零元所在的列的其它元素都为零于是 A 的行最简形中应该包含以下 n 个列向量：,又因为 A 是 mn 矩阵，所以 A 的行最简形矩阵为 ,前 n 行,后 m - n 行,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ,返回,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ,附注：当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵因此，本例的结论当 A 为为方阵时，就是性质 本题中，当 C = O，这时结论为：设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O ,
