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1、6.1 线性空间的定义与性质,一、线性空间的定义,线性空间是线性代数最基本的概念之一, 也是一个抽象的概念, 它是向量空间概念的推广. 线性空间是为了解决实际问题而引入的, 它是某一类事物从量的方面的一个抽象, 即把实际问题看作向量空间, 进而通过研究向量空间来解决实际问题.,定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +. 若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为
2、数域R上的线性空间(或向量空间):,(1) 加法交换律: a +b =b +a ; (2) 加法结合律: (a +b ) +g =a +(b +g ) ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量a , 有a + O = a ; (4) 负元素: 对任一元素aV, 存在 V, 有a + =O, 记 = a ; (5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对加法的分配律: k(a +b )= ka +kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l)a = ka +la .,设, , , OV, 1, l, k R,说明1. 凡满足以上八
3、条运算规律的加法及乘数运算统称为线性运算.,说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一定是有序数组.,说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质的任一条, 则此集合就不能构成线性空间.,(1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性.,线性空间的判定方法:,例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.,例2: 次数不超过n的多项式的全体记作Pxn, 即Pxn = p(x)=a0+a1x+an
4、xn | a0, a1, , anR 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.,通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律. 实际上,对p(x)=a0+a1x+anxn, q(x)=b0+b1x+bnxn Pxn, R,= (a0+a1x+anxn)+(b0+b1x+bnxn )= (a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xn,p(x)+q(x),= (a0+a1x+anxn), p(x),=a0+a1x+anxn,Pxn,所以Pxn对线性运算封闭.,例3: 次数等于n 的多项式的全体记作Qxn, 即Qxn= p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , a
5、nR, an 0 对于通常的多项式加法, 数乘不构成向量空间.,多项式加法, 数乘两种运算对Qxn不满足线性运算的封闭性. 实际上,Pxn,对p(x)=a0+a1x+anxn Qxn, 0R,0 p(x)=0(a0+a1x+anxn) = 0+0 x+0 xn = 0Qxn.,所以Qxn对线性运算不封闭.,例4: 正弦函数的集合Sx= s(x)=Asin(x+B) | A, BR对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.,对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2)Sx, R,由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)
6、,= (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx),= Asin(x+B),= (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx,Sx,s1(x) = A1sin(x+B1),= (A1)sin(x+B1),Sx,所以, Sx是一个线性空间.,例5: 在区间a, b上全体实连续函数构成的集合记为Ca, b, 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构成实数域上的线性空间.,(2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线性运算规律.,例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘数运算为:ab = ab, a = a, (R
7、, a, bR+)验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线性空间.,证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+,所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.,下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR,(1) ab = a b = b a = ba ;,(2) (ab)c = (a b)c = (a b)c,= a(b c) = a(b c) =a(bc) ;,(3) 存在零元1R+, 对任意aR+, 有a1=a 1=a;,(4) 对任一元素aR+, 存在负元素a-1R+, 有aa1= a a1 =1;,(5) 1a = a1 = a
8、;,(6) k(l a) = kal = (al)k = ak l = (k l)a;,(7) k(ab) = k(a b) = (a b)k = ak bk,(8) (k+l)a = ak+l = ak al,= akbk = kakb;,所以, R+对所定义的运算构成线性空间.,= ak al = ka l a .,对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘: (x1, x2, , xn)T = (0, 0, , 0)T不构成线性空间.,例7: n元实有序数组组成的全体 Sn= x=(x1, x2, , xn)T| x1, x2, , xnR ,但1x = 0 x, 故不满足第(5)条运算规
9、律.,即所定义的运算不是线性运算, 所以Sn不是线性空间.,显然, Sn对运算封闭.,二、线性空间的性质,证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素.,1. 零元素是唯一的.,则对任何V有, + 01 =, + 02 = ,由于01, 02V,则有 02+01=02, 01+02=01.,所以,01=01+02,=02+01,=02.,则有 + =0, + =0,2. 负元素是唯一的.,证明: 设的负元素为 与 ,所以,= ., = +0,= +( + ),=( +)+,=( +)+,=0+,因此, 将向量 的负元素记为.,证明: 因为 + 0 =1 + 0,3. 0 = 0; (1)
10、 = ; 0 = 0.,则由零元素的唯一性得: 0 =0,= .,= 1,= (1+0) ,因为 + (1) =1 + (1),=1+(1),= 0,=0.,则由负元素的唯一性得: (1) = .,0 = +(1),= +(),= 0 = 0.,=+(),4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.,证明: 如果 0,又,那么,所以, = 0. 故结论成立.,三、线性空间的子空间,定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子集, 如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间, 则称L为V的子空间.,定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是: L对于V中的线
11、性运算封闭.,证明: 由于L是线性空间V的子空间, 则由定义知, L对于V中的线性运算封闭.,反之, 由于L是线性空间V的非空子集, 则L中的元素必为V中的元素.,则L中的元素的线性运算就是V中元素在V中的运算,又由于L对于V中的线性运算封闭,因此, 八条运算律中(1), (2), (5), (6), (7), (8)显然成立,故只需验证(3), (4)两条成立, 即零元素0在L中, 且L中元素的负元素也在L中.,对任意的L, 则0R, 由运算的封闭性知: 0L, 而0 =0, 故0L, 从而(3)成立.,再由(1)R, 则(1)L, 且+(1) = 0, 所以 的负元素就是(1), 从而(4
12、)成立.,所以L是线性空间V的子空间.,例8: 线性空间R23的下列子集是否构成R23的子空间? 为什么?,解(1): W1不构成子空间.,因为对,1,有,即W1对矩阵加法不封闭, 故不构成R23的子空间.,对任意,有,于是,解(2): 因,故W2非空.,a1+b1+c1=0, a2+b2+c2=0,满足,(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0,因此, 有A+BW2, 即W2对加法封闭.,对任意的kR, 有,2,W1.,有,ka1+kb1+kc1= k(a1+b1+c1) = 0,因此, 有kAW2, 即W2对数乘封闭.,从而, W2构成R23的子空间.,四、小结,线性空间的元素统称为“向量”, 但它可以是通常的向量, 也可以是矩阵, 多项式, 函数等各种各样的研究对象.,线性空间,是一个集合;,对所定义的加法及数乘运算封闭;,所定义的加法及数乘符合线性运算.,线性空间是二维, 三维几何空间及n维向量空间的推广, 它在理论上具有高度的抽象性和概括性.,
