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1、,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量,向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,向量加法,向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组,定义,线性组合,定义,线性表示,定理,定义,定义,线性相关,定理,定理,定义,向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论（最大无关
2、组的等价定义）,设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组,向量空间,定义,子空间,定义,基与维数,向量方程,齐次线性方程组,解向量,解向量的性质,性质,性质,定义,定理,定义,向量方程,非齐次线性方程组,解向量的性质,性质,性质,解向量,向量方程 的解就是方程组 的解向量,（）求齐次线性方程组的基础解系,线性方程组的解法,第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵,第三步：将其余 个分量依次组成 阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系,（）求非齐次线性方程组的特解,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为特解的
3、第 个分量，其余 个分量全部取零，于是得,即为所求非齐次线性方程组的一个特解,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、向量空间的判定,四、基础解系的证法,五、解向量的证法,典型例题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1从定义出发,整理得线性方程组,方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定,例研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：,分析,根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证明,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成
4、的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组,二、求向量组的秩,若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ，则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性,解,判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间,解,三、向量空间的判定,例证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系,四、基础解系的证法,分析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明
5、某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论:,证明,注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,五、解向量的证法,证明,注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性,(3)对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为1时，才是方程组的解,(2)对齐次线性方程组，当时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示,第四章测试题,一、填空题(每小题5分，共40分),二、计算题,(每小题8分，共24分),三、证明题,(每小题8分，共24分),四、向量组 线性无关,问常数 满足什么条件时,向量组线性无关,(12分),测试题答案,
