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1、第五章,二次型,第五章 二次型,1 二次型及其标准形,2 用合同变换化二次型为标准型,3 用正交变换化二次型为标准型,4 二次型的分类,1 二次型及其标准形,一、二次型的概念及矩阵表示,二、非退化的线性交换,三、用配方法化二次型为标准形,一、二次型的概念及矩阵表示,考虑方程,在平面上代表什么曲线？,(1),将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转45,即令,(2),则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方程：,(3),从而曲线为一椭圆。,o,定义 1,将 n 元二次齐次式,称为 n 元二次型。,二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。,取 a i j = a
2、j i ; 则 2ai j xi xj = ai j xi xj + aj i xj xi,所以,二次型还可以用矩阵表示,则：,f (x1, x2, , xn),= x1(a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn),+ x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn),+ ,+ xn (an1 x1 + an2 x2 + + ann xn),= (x1, x2, , xn),简记为,f = X T AX,(5),其中：,X =,称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，方阵 A 的秩 为 二次型的秩。,例1,写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：,解:,则,令,例2,写出二次型的矩
3、阵和矩阵表示式：,解:,令,则,矩阵是对角矩阵,定义2,只含有平方项的二次型,称为 n 元二次型的标准形。,显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。,当,是满秩(可逆)矩阵时,称线性变换(6)为非退化(或 满秩)的线性变换。,二、非退化的线性交换,其中：,定理1,任一二次型 f ，,经满秩的线性变换后得到的新变量。,化二次型为标准型的方法：,1. 配方法,2. 合同变换,3. 正交变换,= x12 + 4x1( x2 x3 ),= (x1 + 2x2 2x3)2 2x22 + 4x2x3 5x32,= (x1 + 2x2 2x3)2 2(x22 2x2x3 + x32 ) 3x32,= (x1 +
4、 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32,解：,+ 2x22 x32 4x2x3, 4(x2 x3)2 + 2x22 x32 4x2x3,+ 4(x2 x3)2,三、用配方法化二次型为标准形,其中：,是非退化的线性变换。,f =(x1 + 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32,即：,线性变换为：,即：,则,f = 2 y12 2 y22 + 2 y1 y3 + 2 y2 y3 6 y1 y3 + 6 y2 y3,= 2 y12 4 y1 y3 2 y22 + 8 y2 y3,= 2 ( y12 2 y1 y3 + y32 ) 2 y32 2 y22 + 8 y2 y3,=
5、 2 ( y1 y3 )2 2 ( y22 4 y2 y3 + 4y32 )+ 6 y32,= 2 ( y1 y3 )2 2 ( y2 2 y3 )2 + 6 y32,即：,则二次型化为标准型 f = 2 z 12 2 z 22 + 6 z 32,其中：,因为：,所以所作的线性变换是非退化的。,定理2,任意一个二次型都可以用配方法化成标准形。,注1：化二次型为标准形时，所用的非退化的线性变换不同，标准形的系数不一定相同，因此，二次型的标准形不是唯一的。,再作非退化的线性交换,由非退化的线性变换,即：,2 用合同变换化二次型为标准型,一、矩阵间的合同关系,二、用合同变换化二次型为标准型,对于二次
6、型,f = X T AX,令非退化线性变换为,X = QY ,其中：|Q| 0,则:,f = (QY )TA( QY ),其中：,B = Q T AQ,得:,f = Y T BY。,= Y T (Q T AQ)Y,可以是对角阵,一、矩阵间的合同关系,定义 1,设有两个方阵 A 与 B，若存在一个可逆阵 Q，,则称 A 合同于 B，记作,性质,证(ii),若,B = Q T AQ ,则,(Q T )1 BQ 1 = A,即,A = (Q 1 ) T BQ 1,(iii),若,B = Q1 T AQ1 ,C = Q2 T BQ2 ,则,C = Q2 T (Q1 T AQ1 ) Q2,即,C = (
7、 Q1 Q2 ) T A ( Q1 Q2 ),结论：A 可经过一系列同一类型的行列初等变换(也称合同变换)化成对角矩阵B。,存在可逆阵Q ，,由 Q 可逆 ,则 Q = p1 p2 pm,有,若,( p1 p2 pm)T A ( p1 p2 pm),问题：求 Q？,Q = p1 p2 pm,= E p1 p2 pm,例1,化二次型 f = x12 + 2x1x2 4x1x3 + 3x22,为标准型。,解：,f = ( x1 x2 x3 ),r2 r1,c2 c1,0,2,1,得,3 用正交变换化二次型为标准型,一、正交矩阵,二、正交变化,三、实对称方阵的特征值、特征向量,四、用正交变换化二次型
8、为标准型,二、正交变化,注1 : 正交变换是非退化 (满秩) 的线性变换。,注2 : 若 X = PY 为正交变换，则,|X | =,即 正交变换保持向量的长度不变。,定理,对二次型 f = X T AX 一定存在正交变换 X = PY 化二次型为标准型,f = X T AX,= Y T P T A P Y,若存在正交阵 P，,使 P T A P =,而 P T = P 1，,记 P 的列向量组为 1 , 2 , , n,分析：如何求 P ？,有,A( 1 , 2 , , n)= ( 1 , 2 , , n),(A 1 , A 2 , , A n)= ( 1 1 , 2 2 , , n n),
9、即,A i = i i ,i = 1, 2, , n ., i 0, i 是 A 的特征值，,标准型中的系数 1 , 2 , , n 可由求 A 的特征值得出。,而 i 是属于 i 的特征向量.,且 1 , 2 , , n是正交的单位向量组。,三、实对称方阵的特征值、特征向量,两边取共轭 :,再两边取转置 :,得,即,引理2,实对称方阵 A 对应于不同特征值的特征向量是相互正交的。,、 分别是属于 和 的特征向量，,则, T ,= ( A ) T ,= T A T ,= T ( A ),= T ,= T ( ),因 ,故, T = 0,而,( ) T = 0 ,即, 与 正交 .,引理3,若
10、是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重根，则 A 的对应于 的线性无关特征向量的最大个数恰为 k .,四、用正交变换化二次型为标准型(化实对称阵为对角阵),步骤：,(1) 解特征方程 | A E | = 0 ,(2) 对每个 i ( i = 1, 2, , n )，解齐次线性方程组,( A E ) X = 0,求出对应于 i 的特征向量 .,若 i 是 k 重根，有 k 个线性无关的特征向量,(4) 单位化,则正交变换 X = PY，化二次型为标准型,(1),解,特征根：,标准形式为：,(2),对 1 = 3，,即：,得基础解系：,X 1,即,系数矩阵的秩为1，基础解系含有三个向量,X 2,X
11、3,X 4,对 2 = 3 = 4 =1 ,(3) 将 X2 , X3 , X4 正交化, 3 = X3 , 4 = X4 ,(4) 单位化, 1, 2, 3, 4,故取正交矩阵,P = ( 1 2 3 4 ),作正交变换 X = P Y, 即,就将二次型 f 化成标准型,f = 3 y12 + y22 + y32 + y42,4 二次型的分类,一、惯性定理,二、实二次型的分类,三、正定二次型的判定,一、惯性定理,其中:,且 r 为对角线上非零元的个数,化成标准型 f = Y T BY,定理1(惯性定理),设二次型 f = X T AX 的秩为 r n,若有两个非退化的线性变换将 f 分别化为
12、:,则, i 中正数个数与 l i 中正数个数相同.,(从而负数个数也同),其中：,系数 i 中正数的个数 p,负数的个数 g = r p, g, 称为符号差.,f = 1 y12 + 2 y22 + + r yr2,称为二次型 f 的正惯性指数。,称为二次型 f 的负惯性指数。,例如：,二次型 f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3,经非退化的线性变换,化成标准型,f = 2 y12 2 y22 + 6 y32,还可经非退化的线性变换,化为标准型,f = z12 z22 + z32,推论：,f = z12 + z22 + + z p2 z 2p+1 z r2,且规范型是唯一的.,二、
13、实二次型的分类,对于二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = X T AX,如果对于任意一组不全为0的实数 c1 , c2 , , cn,(1) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,矩阵 A 为正定矩阵;,(2) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,则称二次型是负定的;,(3) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,则称二次型是半正定的;,(4) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,则称二次型是半负定的;,(5) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 有时为正，有时为负,则称二次型是不定的 .,则称二次型是正定的，,定理
14、2,设秩为 r 的 n 元二次型 f = X T AX,经非退化的线性变换 X = QY 化为标准型,且设 f 的正惯性指数为 p ( 1 p r ), 则,(1) 当 p = r = n 时，,(2) 当 p = r n 时，,(3) 当 p = 0 , r = n 时，,(4) 当 p = 0 , r n 时，,(5) 当 0 p r n 时，,f 为正定二次型;,f 为半正定二次型;,f 为负定二次型;,f 为半负定二次型;,f 为不定二次型 .,三、正定二次型的判定,（1）f = X T AX 为正定的；,（2）A 的特征值 都大于零；,（4）矩阵 A 左上角各阶子式 (称为 A 的顺
15、序 主子式)恒大于零 .,即:,a11 0 ,设A 为实对称矩阵，则以下4个命题等价：,定理3,（3）A 与单位阵 E 合同；,定理4,（1）实二次型 f = X T AX 为负定的；,（3）A 的顺序主子式的符号为负正相间.,即:,a11 0 ,设A 为实对称矩阵，则以下3个命题等价：,（2）A 的特征值 都小于零；,例1：,判定下列二次型的正定性。,(1) f = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1x2 4x2x3,二次型 f 的矩阵为,解：,由,3 0,故二次型 f 是正定的。,(2) f = 5x12 6x22 4x32 + 4x1x2 + 4x1x3,二次型 f 的矩阵
16、为,解：,由, 5 0,故二次型 f 是负定的。,例2：,设 A , B 都是正定矩阵，试证 A + B 也是正定矩阵.,证：,因为 A, B都是正定矩阵，故对任意 X 0，都有 X T AX 0, X T BX 0.,所以，,X T ( A + B ) X,即，,A + B 是正定矩阵,= X T AX + X T BX, 0,例3：,试证：对于正定的实对称方阵 A，存在非奇异方阵 U, 使 A = UTU.,证：,因为 A 是实对称矩阵，故存在正交变换 X = PY,使,X T AX = (PY ) T A(PY ) = Y T (P T AP )Y,其中: 1 , 2 , , n 为 A 的特征值，,A 是正定矩阵， i 0 ( i =1, 2, , n ).,即有：,P T AP =,P 1,令,则 U 为非奇异方阵，,（1）f = X T AX 为半正定的；,（4）矩阵 A 的顺序 主子式大于或等于零 ，,设A 为实对称矩阵，则以下4个命题等价：,定理5,（2）A 的特征值 ,且大于零的个数小于n;,且至少有一个顺序 主子式等于零 。,（3）A 与 合同；,
