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1、第四章 高阶微分方程4.1 线性微分方程的一般理论,一、 n 阶线性微分方程,二、齐次线性方程的解的结构与性质,三、非齐次线性方程与常数变易法,一、 n 阶线性微分方程,当重力与弹性力抵消时, 物体处于平衡状态,例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解,阻力的大小与运动速度,外力f(t)沿垂直方向作用在物体上,若有一,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,如图建立坐标系.,设时刻 t 物体位移为x = x(t).,1. 弹性力 f 1= c x,物体所受的力有:,成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,2. 阻力,3. 外力f(t),据牛顿第二定律
2、得,则得振动方程:, 二阶线性微分方程,n 阶线性微分方程的一般形式为,方程(2)称为 n 阶齐次线性(微分)方程.,方程(1)称为 n 阶非齐次线性(微分)方程,方程(2)叫做对应于方程(1) 的齐次线性方程.,定理1 (解的存在唯一性定理),在 a,b上存在唯一的连续解 x= (t), 且满足初始条件:,二、齐次线性方程的解的结构与性质,定理2 (解的叠加原理) 若 x1(t), x2(t), xk(t)是方程(2)的k个解, 则其线性组合 x =c1x1(t)+ c2x2(t)+ck xk(t) (c1,c2,ck是任意常数) 也是(2)的解.,若 k = n, 则 x =c1x1(t)
3、+c2x2(t)+cnxn(t) 是(2)的解.,问题: x = c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)一定是(2)的通解吗?,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关及朗斯基(Wronski)行列式概念.,定义 设函数 x1(t), x2(t), , xk(t) 定义在区间a,b上,若存在不全为 0 的常数 c1, c2, ck , 使得,则称这些函数在a,b上线性相关,否则称线性无关.,例如： 在( , )上有,故 1, cos2 t, sin2 t 在任何区间 I 上都线性相关.,又如： 1, t, t 2 在任何区间 I 上都线性无关., 1, t, t 2 ,
4、t n在任何区间 I 上都线性无关.,x1(t), x2(t)线性相关,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,存在不全为 0 的k1, k2,使,x1(t), x2(t)线性无关,常数,思考:,若 x1(t), x2(t) 中有一个恒为 0, 则,x1(t), x2(t)必线性_,相关,定义 设定义在区间a,b上的 k 个函数 x1(t), x2(t), , xk(t) 均有k1阶导数, 称行列式,为这 k 个函数的朗斯基(Wrongsky)行列式.,定理3 若函数组 x1(t), x2(t), , xk(t)在区间a,b上线性相关, 则在a,b上其朗斯基行列式 W(t) 0.
5、,反之未必成立.,定理4 若方程(2)的n个解 x1(t), x2(t), xn(t) 在 a,b上线性无关, 则其朗斯基行列式 W(t) 0 (xa,b).,由此有:方程(2)的n个解构成的朗斯基行列式 W(t)在 a,b上或者恒等于0, 或者处处不为0.,定理5 n 阶齐次线性方程(2)必存在n个线性无关的解.,定理6 (通解结构定理) 若 x1(t), x2(t), xn(t)是方程(2)的n个线性无关的解, 则方程(2)的通解可表为：,x = c1x1(t)+ c2x2(t)+ +cnxn (t) (3),(其中 c1, c2, ,cn 是任意常数.),且通解(3)包括了方程(2)的所
6、有解.,推论 n 阶齐线性方程所有解构成一个n维线性空间.,定理5 n 阶齐次线性方程(2)必存在n个线性无关的解.,定义 n 阶齐次线性方程的 n 个线性无关的解称为方程的一个基本解组.,齐次线性方程的基本解组不唯一.,若一个基本解组满足W(t0)=1, 则称其为标准基本解组.,例1 验证x1=cos t, x2=sin t 为方程x+x = 0 的基本解组, 并求其通解.,解,x1+x1 = cos t +cos t =0, x1 为方程的解.,x2+x2 = sin t +sin t =0, x2 为方程的解.,由它们构成的朗斯基行列式,故 x1, x2 是方程的一个基本解组,则方程通解
7、为: x=c1cos t+c2sin t, (c1,c2是任意常数).,三、非齐次线性方程与常数变易法,线性方程解的性质:,性质1 若x(t) 是方程 (1) 的解, x(t) 是方程 (2) 的解, 则 x(t) + x(t) 也是方程 (1) 的解.,性质2 方程 (1) 的任意两个解之差必为方程 (2) 的解.,定理7 若 x1(t), x2(t), xn(t)是方程(2)的基本解组, ,x(t) 是方程 (1) 的一个解,则方程(1)的通解可表为：,x = c1x1(t)+ c2x2(t)+ +cnxn (t)+x(t) (4),(其中 c1, c2, ,cn 是任意常数.),且通解(
8、4)包括了方程(1)的所有解.,解, y1, y2, y3 都是微分方程的解,是对应齐次线性方程的解, 常数,所求通解为, ex, x 线性无关,例 设y1, y2, y3是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解,试用y1, y2, y3 表示方程的通解.,常数变易法：,若(2)的通解为: x = c1x1(t)+ c2x2(t)+ +cnxn (t),令: x = c1(t)x1(t)+ c2(t)x2(t)+ +cn(t)xn (t)为(1)的一个解,则(1)的一个解为: x = c1(t)x1(t)+ c2(t)x2(t)+ + cn(t)xn (t),例3 求方程x 3x + 2x = te2t 的通解, 且已知对应齐次线性方程的一个基本解组为 et,e2t .,解,对应齐线性方程通解为,令方程的一个解为,故原方程通解为,定理 设非齐次方程(1)的右端 f(t) 是几个函数之和,(n 阶非齐次线性方程解的叠加原理),作业,P131: 1, 3.(1),(2), 6,7,*例 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐线性方程的解, 求该方程 .,解,*例,解,(1)由题设可得：,解此方程组, 得,(2) 原方程为,故方程的通解为,
