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1、3.4线性系统的稳定性分析,一、稳定性的基本概念,二、线性系统稳定的充分必要条件,三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）,四、劳思稳定判据的特殊情况,五、劳思稳定判据的应用,（1）稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。,一、稳定性的基本概念,（2）自动控制理论的基本任务(之一),分析系统的稳定性问题；提出保证系统稳定的措施。,对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。,例,稳定的摆,不稳定的摆,(a)稳定,(b)临界稳定,(c)不稳定,稳定性的定义,控制系统在外部扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。,注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数
2、，与输入无关。,不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。,(a)大范围稳定,大范围稳定:,(b)小范围稳定,否则系统就是小范围稳定的。,注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。,(a)不稳定,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,运动稳定性（线性系统）,对于线性系统只有大范围稳定的问题,对于线性系统而言，平衡状态稳定性和运动稳定性是等价的,线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐进稳定，简称稳定。如动态
3、过程随时间的推移而发散，称为不稳定。,系统方程在不受任何外界输入的条件下，系统方程的解在时间趋于无穷时的渐进行为。,线性控制系统的稳定性,稳定的条件：,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号( t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是（渐近）稳定。,二、线性系统稳定的充分必要条件,理想脉冲函数作用下 R(s)=1。,对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。,由上式知：如果pi和i均为负值, 当t时,c(t)0。,自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具
4、有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。,注意：稳定性与零点无关,系统特征方程,例,结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。,三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）,（1）该判据出现的历史条件,（2）劳思-赫尔维茨稳定判据的历史条件和现状,在十九世纪后叶，由于无法解析求解高阶多项式的根,由于计算工具所限，数值求解也较难,把求根的具体值问题放松为判断根是否小于零问题。,理论上还有一定的地位,在研究相对稳定性和保证系统稳定的参数取值范围发挥作用,由于数值求根已经非常方便，该判据在直接判断系统稳定性上的作用几乎消退。,赫尔维茨(Hurwitz)判据,控制系统稳定的充分必要条件是：当a
5、00时， 各阶赫尔维茨行列式1、2、n均大于零。,一阶系统,二阶系统,a00时, a10(全部系数数同号),a00时, a10, a20(全部系数数同号),a00时,a00时,三阶系统,a00时, a10, a20, a30(全部系数同号),a00时,a1a2 a0 a3,四阶系统,a00时, a10, a20, a30 , a40 (全部系数数同号),a00时,一阶系统,a10(全部系数数同号),a10, a20(全部系数数同号),a10, a20, a30(全部系数数同号),a1a2 a0 a3,a10, a20, a30 , a40(全部系数数同号),归纳：a00时,二阶系统,三阶系统,
6、四阶系统,例,a10, a20, a30 , a40,K值的稳定范围,各项系数均为正数,a00时,单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：,判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。,系统1的闭环特征方程为：,系统3的闭环特征方程为：,系统2的闭环特征方程为：,K的稳定域为：,K的稳定域为：,结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。,由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。,劳斯阵列,性质：第一列符号改变次数= 系统特征方程含有正实部根的个数。,特征方程：,劳斯阵列：,劳斯(routh)判据,如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定；如果符号
7、不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。,控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。,“第一列中各数”,注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,特殊情况1：某行的第一列出现0,特殊情况2：某一行元素均为0,四、劳思稳定判据的特殊情况,特殊情况1：某行的第一列出现0,特殊情况：第一列出现0。,解决方法：用因子(sa)乘以原特征方程。,系统不稳定，且有两个正实部根。,特殊情况2：某一行元素均为0,特殊情况：某一行元素均为0,解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。,各项系数均为正数,
8、求导得:,例如，一个控制系统的特征方程为,列劳斯表,显然这个系统处于临界(不)稳定状态。,劳斯阵列出现全零行:,大小相等符号相反的实根,共轭虚根,对称于实轴的两对共轭复根,系统在s平面有对称分布的根,五、劳思稳定判据的应用,2、实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。,此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,1、稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。,解决的办法,解：列劳斯表,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。,列劳斯表,图3-21单位反馈控制系统方块图,排劳斯表,第一列均为正值，S全部位于左半平面，故,解：,系统稳定,开环传递函数,闭环特征方程为,列劳斯表,利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值,
