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1、组合数的性质和应用,莆田第二中学高二1班,复习巩固：,3、组合数公式:,新课引入,引例1:利用组合数公式考察: 与 ; 与 ; 的关系,并发现什么规律?,=,注,即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数 性质1,证明: 根据组合数的公式有:,引例2： 一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法? (2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?,即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根据分类计
2、数原理,上面等式成立.,性质2,1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 . 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用,性质2,例1 计算,例2计算：,解：原式,n,3n-6,D,190,巩固练习,36人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？,解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共有不同的去法,巩固练习,小结,2.组合数性质:,1.组合数公式:,组合数的应用,一、等分组与不等
3、分组问题,例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分成三份，每份两本；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；（6）分给5个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。,变式、（1）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? （2） 10件不同奖品中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件，发给三个同学，有多少种分法？,(3) 将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每
4、班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？,练习2:将5个人分成4个组，每组至少1人， 则分组的种数是多少？,练习1:将12个人分成2，2，2，3，3的5个组，则分组的种数是多少？,A,练习,例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种,二、不相邻问题插空法,变式1：为美化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄与兰共3种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，有多少种
5、不同的安装方法？,114种,三、混合问题，先“组”后“排”,例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能。,变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；（2） 4只鞋子没有成双的；（3） 4只鞋子只有一双。,分析:,(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有,(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有种 方法, 每双鞋中可取左边
6、一只也可取右边一只, 各有 种取法,所以一共有 种取法.,(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 种取法,3双鞋中取出1双有 种方法,另2双鞋中各取1只有 种方法故共有 种取法.,变式2：有4个不同的球和4个不同的盒子，把球全部放入盒内。（假设盒子足够大）（1）共有几种放法？（2）每盒恰有1个球，有几种放法？（3）恰有1个盒内放2个球，有几种放法？（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？（5）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（6）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？,四、分类组合,隔板处理,例6、 从6个学校中选出3
7、0名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法” 得:,变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的放法有多少种？,变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？,变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?,解: 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:,其中必有四个和七个组成!,所以, 四个和七个一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有,条不同的路
8、径.,五.消序法(留空法),编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.,六.错位法：,特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.,例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_种.,解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有,种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.,故所求方法有159135种.,七.剔除法,从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.,例7. 从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别
9、作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.,解：所有这样的直线共有 条，,其中不过原点的直线有 条，,所得的经过坐标原点的直线有210-18030条.,排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.,例8.“抗震救灾，众志成城”，在我国甘肃舟曲的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有
10、2名外科专家的抽调方法有多少种？,规范解答(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有 种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有 种选法，所以共有 种抽调方法.,(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有C42C64种选法；选3名外科专家，共有C43C63种选法；选4名外科专家，共有C44C62种选法；根据分类加法计数原理，共有C42C64C43C63C44C62185种抽调方法.,方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 种选法，考虑选取1名外科专家参加，有 种选法；没有外科专家参加，有 种选法，所以共有： 种抽调方
11、法.,(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C66种选法；有1名外科专家参加，有C41C65种选法；有2名外科专家参加，有C42C64种选法.所以共有C66C41C65C42C64115种抽调方法.,题后感悟解答有限制条件的组合问题的基本方法：,课堂练习：,2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。,3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）,4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、
12、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）,1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。,9,9,C,D,课堂练习：,5、4个学生和3个老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须排在一起的不同排法种数是（ ） A . B . C . D .,D,6、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有（ ）,B,7、在7名运动员中选出4名组成接力队，参加4100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？,8:9件不同的玩具，按下列方案
13、有几种分法？ 1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法？ 2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分法？ 3.每人3件，有多少种分法？ 4.平均分成三堆，有多少种分法？ 5.分为2、2、2、3四堆，有多少种分法？,解：,2、求 的值,作业：1、,3、已知 , 求x的值,=（ ）,5、求,的值,1解组合应用题的总体思路(1)考查顺序区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序问题用组合解答，有序问题属排列问题(2)整体分类对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集计算结果时，使用分类计数原理,(3)局部分步整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步
14、骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步计数原理,(4)辨证地看待“元素”与“位置”排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好,2组合常见问题及对策(1)无条件限制的组合应用题其解题步骤：判断；转化；求值；作答(2)有限制条件的组合应用题“含”与“不含”问题，其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法解题时要注意分清“有且仅有”、“至多”“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准,“至多”与“至少”问题这类问题通常采用排除法，也可以用直接法几何中的计算问题在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决,
