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1、工程力学工程静力学与材料力学,马志涛,大连大学建筑工程学院,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计,工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面上仅有扭矩（Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即为切应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力变形分析以及强度设计和刚度设计。分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计,9.1 工
2、程上传递功率的圆轴及其扭转变形9.2 切应力互等定理9.3 圆轴扭转时的切应力分析9.4 承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计9.5 结论与讨论,大连大学,4,9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,大连大学,5,9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,大连大学,6,当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转,拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转，而且产生弯曲,9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,大连大学,7,请判断哪些零件将发生扭转？,传动轴将产生扭转,9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,大连大学,8,连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转,请判断哪些零件将发生扭转？,9.1 工程上
3、传递功率的圆轴及其扭转变形,大连大学,9,请判断哪一部件将发生扭转？,唱机的心轴将产生扭转,9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,大连大学,10,请判断轴受哪些力将发生什么变形？,轴将产生扭转和弯曲变形,9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。不难看出，圆轴受扭后，将产生扭转变形（twist deformation），圆轴上的每个微元的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力分别用 和 表示。,大连大学,11,9.2 切应力互等定理,大连大学,12,9.2 切应力互等定
4、理,圆轴扭转时，微元的剪切变形现象表明，圆轴不仅在横截面上存在切应力，而且在通过轴线的纵截面上也将存在切应力。这是平衡所要求的。如果用圆轴的相距很近的一对横截面、一对纵截面以及一对圆柱面，从受扭的圆轴上截取一微元，微元与横截面对应的一对面上存在切应力，这一对面上的切应力与其作用面的面积相乘后组成一绕z轴的力偶，其力偶矩为dydzdx。为了保持微元的平衡，在微元与纵截面对应的一对面上，必然存在切应力，这一对面上的切应力也组成一个力偶矩为 dxdzdy的力偶。这两个力偶的力偶矩大小相等、方向相反，才能使微元保持平衡。,大连大学,13,9.2 切应力互等定理,大连大学,14,根据力偶平衡理论,切应力
5、互等定理或切应力成对定理(theorem of conjugate shearing stress)：如果在微元的一对面上存在切应力，另一对与切应力作用线互相垂直的面上必然有大小相等、方向或相对(两切应力的箭头相对)或相背(两切应力的箭尾相对)的一对切应力，以使微元保持平衡。,9.3 圆轴扭转时的切应力分析,大连大学,15,9.3 圆轴扭转时的切应力分析,分析圆轴扭转切应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法，基本相同，即：根据表面变形作出平面假定由平面假定得到应变分布，即得到变形协调方程再由变形协调方程与应力应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式最后利用静力方程确定待定常数，从而得
6、到计算应力的公式,大连大学,16,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,9.3 圆轴扭转时的切应力分析,圆轴扭转时，圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。平面假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。刚性地转过一角度是指横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。,大连大学,17,9.3 圆轴扭转时的切应力分析,9.3.1 变形协调方程9.3.2 弹性范围内的切应力-切应变关系9.3.3 静力学方程9.3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式,大连大学,18,9.3 圆轴扭转时的切应力分析9.3.1 变形协调方程,大连大学
7、,19,9.3.1 变形协调方程,若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的切应变各不相同，半径越小者切应变越小。,大连大学,20,C,dx,设到轴线任意远处的切应变为，则从图中可得到如下几何关系：,D,9.3 圆轴扭转时的切应力分析9.3.2 弹性范围内的切应力-切应变关系,大连大学,21,9.3.2 弹性范围内的切应力-切应变关系,大连大学,22,O,9.3 圆轴扭转时的切应力分析9.3.3 静力学方程,大连大学,23,9.3.3 静力学方程,大连大学,24,对于圆轴，切应力有,r,9.3.3 静
8、力学方程,作用在横截面上的切应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有,大连大学,25,此即静力学方程。,dA,IP就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的GIP称为圆轴的抗扭刚度（torsional rigidity）。,d,9.3 圆轴扭转时的切应力分析9.3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式,大连大学,26,9.3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式,大连大学,27,抗扭截面系数（section modulus in torsion）,9.3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式,大连大学,28, = d / D,对于直径为 d 的实心圆
9、截面,对于内、外直径分别为 d 和 D 圆环截面,9.3.4 例题9-1 实心与空心轴的最大切应力,已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相连，传递的功率P7.5kW，轴的转速n=100r / min，实心圆轴的直径d1=45mm，空心圆轴的内外直径之比d2 / D2 = = 0.5， D2 =46mm。求：实心轴与空心轴横截面上的最大切应力,大连大学,29,9.3.4 例题9-1 实心与空心轴的最大切应力,大连大学,30,由于两传动轴的转速与传递的功率相等，故二者承受相同的外加扭转力偶矩，因而在横截面上的扭矩也相等。,其中功率P的单位为kW；n为轴每分钟的转数。,9.3.4 例题9-1 实
10、心与空心轴的最大切应力,大连大学,31,实心轴横截面的最大切应力,空心轴横截面的最大切应力,讨论：本例中的实心轴与空心轴最大切应力相等，但两轴横截面面积不同,这说明最大切应力相同的情况下，实心轴所用材料比空心轴多。,9.3.4 例题9-2 法兰上的螺栓,已知：两根传递功率的圆轴通过法兰用8根螺栓相连，螺栓位于同一圆周（称为节圆）上，圆的直径为450mm，轴传递的扭矩Me=70kNm，螺栓的许用切应力=40MPa。试分析：螺栓等间距分布时，每个螺栓的受力。在确保法兰距紧密相连，螺栓在同一圆周上不等间距分布时，每个螺栓的受力。螺栓等间距分布时，设计螺栓的直径d。,大连大学,32,9.3.4 例题9
11、-2 法兰上的螺栓,解： 1. 螺栓等间距分布时螺栓受力圆周发生扭转时，因为在横截面上同一圆周的切应力相同，所以每个螺栓承受相同的切应力。假设螺栓上的切应力均匀分布，切应力与横截面积的乘积即为螺栓上的剪力，8个螺栓上的剪力力矩之和等于扭矩。,大连大学,33,式中，A为单个螺栓的横截面面积，D为螺栓所在节圆的直径。,2. 螺栓不等间距分布时螺栓受力,当螺栓不等间距分布时，只要所连接的两个法兰之间不发生翘曲，螺栓上的剪力与等间距分布时相同。,9.3.4 例题9-2 法兰上的螺栓,3. 设计螺栓等间距分布时的直径d利用1中所得的结果，应用剪切假定计算的强度条件，有,大连大学,34,9.3.4 例题9
12、-3 齿轮传动机构,功率从轮B输入，通过锥形齿轮将一半传递给铅锤C轴，令一半传递给H水平轴。输入功率P1=14kW，水平轴（E和H）转速n1=n2=120r/min；锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z3=12；各轴的直径分别为D1=70mm, D2 =50mm, D3=35mm。求：各轴横截面上的最大切应力,大连大学,35,9.3.4 例题9-3 齿轮传动机构,解： 1. 计算各轴的功率与转速,大连大学,36,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7kW,n1=n2= 120r/min,转速与齿数成反比，所以有,Mx1=T1=1114 N.m,Mx2=T2=557 N.m,Mx3=T
13、3=185.7 N.m,9.3.4 例题9-3 齿轮传动机构,3. 计算各轴的横截面上的最大切应力,大连大学,37,9.4 承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计,大连大学,38,9.4 承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计,9.4.1 扭转试验与扭转破坏现象9.4.2 扭转强度设计9.4.3 抗扭刚度设计,大连大学,39,9.4 承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计9.4.1 扭转试验与扭转破坏现象,大连大学,40,9.4.1 扭转试验与扭转破坏现象,为了测定剪切时材料的力学性能，需材料制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验，使薄壁截面上的切应力接近均匀分布，这样
14、才能得到反映切应力与切应变关系的曲线。对于铸铁这样的脆性材料，由于基本上不发生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到反映切应力与切应变关系的曲线。,大连大学,41,9.4.1 扭转试验与扭转破坏现象,大连大学,42,试验结果表明，低碳钢的切应力与切应变关系曲线上，类似于拉伸正应力与正应变关系曲线，也存在线弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈服强度和强度极限分别用s和b表示。,对于铸铁，整个扭转过程，都没有明显的线弹性阶段和塑性阶段，最后发生脆性断裂。其强度极限用b表示。,9.4.1 扭转试验与扭转破坏现象,大连大学,43,韧性材料试样最后沿横截面剪断，断口比较光滑、平整。,铸铁试样扭转破坏时沿45
15、螺旋面断开，断口呈细小颗粒状。,韧性材料与脆性材料扭转破坏时，其试样断口有着明显的区别。,9.4 承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计9.4.2 扭转强度设计,大连大学,44,9.4.2 扭转强度设计,与弯曲强度设计相类似，扭转强度设计采用如下步骤：需要根据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面根据危险截面上的应力分布确定危险点（即最大切应力作用点）利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则圆轴扭转时的强度设计准则为,大连大学,45,其中为许用切应力。,9.4.2 扭转强度设计,大连大学,46,许用切应力与材料的许用正应力之间存在一定的关系。,对于脆性材料,对于韧性材料,如果设计中不能提供值时，可
16、根据上述关系由值求得值。,9.4.2 例题9-4 汽车主传动轴,已知：汽车发动机将功率通过主传动轴AB传给后桥，驱动车轮行驶。设主传动轴所承受的最大外力偶矩为Me1.5kNm，轴由45号钢无缝钢管制成，外直径D90mm，壁厚2.5mm， 60MPa。试: 1试校核主传动轴的强度；2 . 若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大切应力的前提下，试确定实心轴的直径； 3 . 确定空心轴与实心轴的重量比。,大连大学,47,9.4.2 例题9-4 汽车主传动轴,解： 1. 校核空心轴的强度根据已知条件，主传动轴横截面上的扭矩MxMe1.5kNm，轴的内直径与外直径之比,大连大学,48,因为轴只在两端承受
17、外加力偶，所以轴各横截面的危险程度相同，轴的所有横截面上的最大切应力均为,由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。,9.4.2 例题9-4 汽车主传动轴,2. 确定实心轴的直径根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大切应力的要求，实心轴横截面上的最大切应力也必须等于50.9MPa。若设实心轴直径为d2，则有,大连大学,49,据此，实心轴的直径,9.4.2 例题9-4 汽车主传动轴,3. 计算空心轴与实心轴的重量比由于二者长度相等、材料相同，所以重量比即为横截面的面积比，即,大连大学,50,4. 本例讨论,上述结果表明，空心轴远比实心轴轻，即采用空心圆轴比采用实心圆轴合理。这是由于圆轴扭转时横截面
18、上的切应力沿半径方向非均匀分布，截面中心附近区域的切应力比截面边缘各点的切应力小得多，当最大切应力达到许用切应力时，中心附近的切应力远小于许用切应力值。将受扭杆件做成空心圆轴，可以使得材料得到充分利用。,9.4.2 例题9-5 木质圆轴,已知：承受扭转的木制圆轴，其轴线与木材的顺纹方向一致。轴的直径为150mm，圆轴沿木材顺纹方向的许用切应力顺2MPa；沿木材横纹方向的许用切应力横8MPa。求：轴的许用扭转力偶的力偶矩。,大连大学,51,9.4.2 例题9-5 木质圆轴,解：木材的许用切应力沿顺纹（纵截面内）和横纹（横截面内）具有不同的数值。圆轴受扭后，根据切应力互等定理，不仅横截面上产生切应
19、力，而且包含轴线的纵截面上也会产生切应力。所以需要分别校核木材沿顺纹和沿横纹方向的强度。横截面上的切应力沿径向线性分布，纵截面上的切应力也沿径向线性分布，而且二者具有相同的最大值，即,大连大学,52,而木材沿顺纹方向的许用切应力低于沿横纹方向的许用切应力，因此本例中的圆轴扭转破坏时将沿纵向截面裂开。,9.4.2 例题9-5 木质圆轴,故本例只需要按圆轴沿顺纹方向的强度计算许用外加力偶的力偶矩。于是，由顺纹方向的强度条件：,大连大学,53,得到,9.4 承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计9.4.3 抗扭刚度设计,大连大学,54,9.4.3 抗扭刚度设计,抗扭刚度计算是将单位长度上的相对扭转角限制
20、在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则：,大连大学,55,9.4.3 例题9-6 钢制空心轴,已知：钢制空心圆轴的外直径D100mm，内直径d50mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5，材料的切变模量G80.4GPa。试： 1. 求该轴所能承受的最大扭矩；2. 确定此时轴内最大切应力。,大连大学,56,9.4.3 例题9-6 钢制空心轴,解： 1. 确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有,大连大学,57,由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为,空心圆轴截面的极惯性矩,9.4.3 例题9-6 钢制空心轴,大连大学,58,2. 计算轴在承受最大扭矩时，横截面上的最大切
21、应力,9.5 结论与讨论,大连大学,59,9.5 结论与讨论,9.5.1 关于圆轴强度与刚度设计9.5.2 矩形截面杆扭转时的切应力,大连大学,60,9.5 结论与讨论9.5.1 关于圆轴强度与刚度设计,大连大学,61,9.5.1 关于圆轴强度与刚度设计,圆轴是很多工程中常见的零件之一，其强度设计和刚度设计一般过程如下：根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加力偶时，需要画出扭矩图。根据轴的扭矩图，确定可能的危险面和危险面上的扭矩数值。计算危险截面上的最大切应力或单位长度上的相对扭转角。根
22、据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。,大连大学,62,9.5 结论与讨论9.5.2 矩形截面杆扭转时的切应力,大连大学,63,9.5.2 矩形截面杆扭转时的切应力,试验结果表明：非圆（正方形、矩形、三角形、椭圆形等）截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形状，并且不再位于同一平面内。由此推定，杆横截面将不再保持平面，而发生翘曲（warping）。,大连大学,64,矩形截面杆受扭后发生翘曲,9.5.2 矩形截面杆扭转时的切应力,非圆截面杆扭转时发生翘曲，应用切应力互等定理可以得到以下结论：横截面上周边各点的切应力沿着周边切线方向。对于有凸角的多边形截面杆，横截面上的凸角点处的切应力等于零。,大连大学,65,位于角点的微元各面上的切应力yz= zy = xy = yx = xz = zx =0,9.5.2 矩形截面杆扭转时的切应力,大连大学,66,x,O,C1max,max,h,b,杆件横截面上沿周边各点的切应力必与周边相切。最大切应力发生在矩形截面的长边中点处。,式中，C1和C1是与长短边尺寸之比h/b有关的因数。,h,b,这时沿宽度b方向的切应力近似线性分布,谢谢大家,
