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1、,第七章,第七节 空间直线及其方程,二、对称式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,一、空间直线的一般方程,其一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),过直线 L 的平面束的方程,不包括,即,一、空间直线的一般方程,例1 求直线,在平面,上的投影直线的方程。,解：,过直线 L 的平面束方程为,即,与,垂直,代入得,所以投影直线为,1.对称式方程,方向向量：,该向量叫做该直线的方向向量。,如果一个非零向量平行于一条已知直线，,注意, 直线上任一向量,的方法, 求,取 L 上两点 A、B，则,二、对称式方程与参数方程,求出与L 平行的一个向量,则可取,都平行于其方向向量；,
2、设直线 L 过,则,从而,直线的对称式方程（或点向式方程）。,一个方向向量,例2 求过点,解：,和,的直线方程。,所以所求直线方程为,例3 用对称式方程表示直线,解：,令,则,得点,所以直线,注意,不同时为零，叫做直线的一组方向数，, 若,垂直于 x 轴，,垂直于 y 轴，,垂直于 z 轴。, 若,任意,向量,的方向余弦叫直线的方向余弦。,垂直于 xoy 平面,、,2.参数方程,设,得,参数方程,常用于求点的坐标,例4 求直线,与平面,的交点。,解：设,代入平面得,所以交点,解得,设直线,两直线方向向量的夹角(通常取锐角)叫做两直线的夹角。,的方向向量分别为,三、两直线的夹角,例5 求直线,和
3、,的夹角。,解：,注：,例6 求过点,解：,且平行于直线,的直线方程。,所以所求直线方程为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线的夹角(锐角) 称为直线与平面的夹角。,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,四、直线与平面的夹角,注：,(3) 线在面内,且线上一点在面内,例7 试确定下列各组中的直线和平面间的关系,和,（1）,和,（2）,和,（3）,和,（1）,又直线上一点,不在平面内,所以直线与平面平行,解：,例7 试确定下列各组中的直线和平面间的关系,和,（2）,所以直线与平面垂直,解：,例7 试确定下列各组中的直线
4、和平面间的关系,和,（3）,又直线上一点,在平面内,所以直线在平面之内,解：,例7 试确定下列各组中的直线和平面间的关系,例8 求过点,垂直的平面方程。,且与直线,解：,所以平面,即,例9 求过点,的平面方程。,且通过直线,解：,向量,设平面的法向量为,则,点,直线的方向向量,例10 求过点,垂直相交的直线方程。,且与直线,解：,先作一过点 M 且与已知直线垂直的平面,再求已知直线,令,交点,代入得,与该平面的交点 N ,解得,所求直线方程为,一般式,对称式,参数式,小结：,1.空间直线方程,直线,直线,夹角公式:,2.线与线的关系,平面 :,夹角公式：,直线 L :,3.线与面的关系,(3)线在面内,且线上一点在面内,
