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1、5.1.1角的概念的推广与弧度制,1、角的概念,初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是0, 360)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.,生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720，跳水运动员向内、向外转体1080； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子不仅不在范围0, 360) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。,2角的概念的推广,“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，
2、绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点,“正角”与“负角”、“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=150，=660，,特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0） 角的记法：角或可以简记成.,角的概念扩展的意义：,用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了, 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（
3、3602=720） 3周（3603=1080） 还有零角, 一条射线，没有旋转.,角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角。 ,用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）,（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；,（1）旋转中心：作为角的顶点.,（3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720
4、， 540等角度.,3“象限角”,为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30、390、330是第象限角， 300、 60是第象限角， 585、1300是第象限角， 135 、2000是第象限角等,3、(2)轴线角,当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，我们称之为轴线角。,4终边相同的角, 观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.
5、,探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=1) 30=30+0360 (k=0), 1470=30+4360(k=4) 1770=305360 (k=5), 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：| =+k360(kZ) 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和,注意以下四点： kZ； 是任意角； k360与之间是“+”号，如k36030,应看成k360+(30)； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.,象
6、限角的表示,第一象限,第二象限,第三象限,第四象限,轴线角的表示,0,0,0,0,0,0,1,1,不存在,不存在,-1,-1,1,特殊角的三角函数值,例1. 在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.,解：120=360+240， 240的角与120的角终边相同， 它是第三象限角 640=360+280， 280的角与640的角终边相同， 它是第四象限角, 95012=3360+12948， 12948的角与95012的角终边相同， 它是第二象限角,例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在36072
7、0间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.,解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在360720间的角是 1360+60=280； 0360+60=60； 1360+60=420,(2) S=| =k36021 (kZ) S中在360720间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699,(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在360720间的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=36314,课堂练习,1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于
8、90的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？,答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐角,2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510,答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.,3、已知,角的终边相同，那么的终边在（ ） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上,A,4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k
9、360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) ,C,5 、已知角2的终边在x轴的上方，那么是( ) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角,C,6、若是第四象限角，则180是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角,C,7、在直角坐标系中，若与终边互相垂直，那么与之间的关系是（ ） A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZ,D,8、若90135，则的范围是_，+的范围是_;,(0,45),(180,270),9、
10、若的终边与60角的终边相同，那么在0,360范围内，终边与角 的终边相同的角为_;,解：=k360+60，kZ.,所以 =k120+20， kZ.,当k=0时，得角为20，,当k=1时，得角为140，,当k=2时，得角为260.,弧度制,长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.,探究1：弧度的概念,思考1：在平面几何中，1的角是怎样定义的？,将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1的角.,思考2：在半径为r的圆中
11、，圆心角n所对的圆弧长如何计算？,思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？,思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么AOB的大小为多少弧度？,2 rad,B,2r,思考5：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中AOB的弧度数分别是多少？,见书本第页探究,思考6：如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数
12、的绝对值如何计算？,探究（二）：度与弧度的换算,思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？,思考2：根据上述关系，1等于多少弧度？1rad等于多少度？,5、弧度制,1、1弧度的角,3、换算公式,2、弧长公式,规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；,问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？,演示,6、弧度数,一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数R之间建立一种一一对应的关系。用弧度制表示角时，不能
13、与角度制混用。,思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？,今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如=2表示是2rad的角.,思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？,0,思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角为（ ）那么扇形的面积如何计算？,思考6：在弧度制下，与角终边相同的角如何表示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？,终边x轴上： 终边y轴上：,知识迁移,例1 按照下列要求，把6730化成弧度：（1）精确值； （2）精确到0.001的近似值.,例将rad换算成角度（用度数表示，精确到）,例2 (1) 已知扇形的圆心角为72，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积； （2）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.,小结,1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.,2.度与弧度的换算关系，由180 rad进行转化，以后我们一般用弧度为单位度量角.,3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点.,
