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1、第1章 误差,1.1 科学计算中误差的来源,1.2 误差的基本估计方法,1.3 算法的数值稳定性,hhhhhhhhhhhhhggggggggggggg,目录,= 1.1.1 浮点数及其运算特点,= 1.1.2 误差的来源与分类,Home,目录,1.1 科学计算中误差的来源,1. 规格化浮点数： x=0.d1d2dtn,1.1.1 浮点数及其运算特点,t 字长（正整数）。d1,d2,dt为0到1中任一数字。当数x0时，规定d10 。,基底（可以是10、2、8、16等等）,阶,尾数,Home,目录,例 t=4, p=10，即4位十进制计算机中,一台计算机能表示的浮点数的全体，记作F。实数x在计算机
2、中用F中最接近x的一个浮点数表示。,=,0.2718101,十进制情形，为10，d1,d2,dt为0到9中任一数字。,数0在计算机中尾数为0，阶码任意 。,- 62.4=,- 0.6240102,0.0010346=,0.103510-2,目录,Home,(1) 两数相加前先对阶,统一为较大阶.(2) 结果自动规格化.,例1 设t=4, =10, x=0.312710 6, y=0.415310 4.,(对阶),则,（规格化）,例2 设在5位十进制计算机上，t=5, =10, x=0.3756910 4, y=0.9633110 5.,则,其结果大数“吃掉”了小数,2.浮点数的运算特点:,目录
3、,Home,在计算机里，加法结合律成立吗？,乘法对加法的分配律成立吗？,答：不成立。例题：在3位十进制机上计算(0.0438+0.0397)+13.2=13.3而 0.0438+(0.0397+13.2)=13.2,答：不成立。请自己举例说明。,目录,Home,通常，用计算机解决科学计算问题经历以下过程： 实际问题 建立数学模型 构造数值计算方法 程序设计 上机计算结果,误差的来源主要有四类：1.模型误差-客观量的准确值与数学模型的准确解的差2.观测误差-由观测数据而产生的误差3.截断误差(方法误差)-数学模型的准确解与利用近似计算方法得到的解之差4.舍入误差-由于将数据进行舍入而产生,目录,
4、1.1.2 误差的来源与分类,Home,例 某个量的数学模型是sin x,由泰勒展式,用近似计算公式,截断误差,例,，产生舍入误差为：,目录,Home,Home,目录,= 1.2.1 绝对误差和绝对误差限,= 1.2.2 相对误差和相对误差限,= 1.2.3 有效数字,= 1.2.4 算术运算的误差,1.2 误差的基本估计方法,设某准确值x近似值为x*。,x*的绝对误差 (x)=xx*,在同一量的不同近似值中，|(x)|越小，x*的精确度越高。,当|(x)|较小时，(x)dx,|(x)|=|xx*| x*的绝对误差限,例,|(x)|=|xx*|=0.000333.0.0005,试估计误差限。,
5、解,x*的绝对误差限为0.0005,常用记法： x=x*,表示 x*-xx*+,某商品标注重量为 270.5kg, 实际重量是多少？,s,实际重量在26.5kg到27.5kg之间,1.2.1 绝对误差和绝对误差限,Home,目录,x*的相对误差,在不同近似值中，|r (x)|越小，x*的精确度越高。,x*的相对误差限,常用计算公式：,（为什么？）,理由：当已知时，有 |r (x)|=,相对误差限,当已知时，有|(x)|=|r (x)| |x*|x*|,绝对误差限,目录,Home,1.2.2 相对误差和相对误差限,例 设,的近似值哪一个精度高些?,解,x*=1, 绝对误差限x=0.5, 相对误差
6、限x=0.5/1=0.5y*=10000, 绝对误差限y=5, 相对误差限y=5/10000=0.0005由于y x ，所以y的近似值y*的精度较高。,目录,Home,定义1.3 若近似值x*的绝对误差限是某一位上的半个单位，则说 x* 精确到该位，若从该位到 x* 的左面第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字。 准确数有无穷多位有效数字.,例,用3.1416作为的近似值,有几位有效数字?,解,|-3.1416|=0.0000073,=3.14159265,x*=3.1416,因此近似值精确到10-4,有5位有效数字.,目录,1.2.3 有效数字, 0.00005,=0.510
7、-4,Home,对于同一个量的不同近似值，其绝对误差限越小，有效数字位越多，反之也是。,对于不同近似值（不必是同一个量的近似值），其相对误差限越小，有效数字位越多，反之也是。,目录,由定义可见，,还可以证明，,Home,定义1.3（有效数字位数的另一个定义）,设x的近似值x*表示成,若其绝对误差限为,，即,则称近似数具有n位有效数字。,x*精确到10p-n位，正好是n 的位置，从该位到左起第1位非零数字正好有n位。,例,解法1,已知x=31.2063的绝对误差(x)=0.510 -3，问x有多少位有效数字？,可知x精确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非零数字共有5位，因此有5位有效数字。,
8、解法2,所以x有5位有效数字。,p=,2,p-n=,-3,故n=,5,Home,目录,（1）绝对误差：,因此，任何两个数之和(差)的绝对误差限为这两个数的绝对误差限之和。,目录,1.2.4 算术运算的误差,Home,（2）相对误差：,当x1x2时, x1 x2 0,所以相近两数之差的相对误差将很大 。,利用(y)dy, r (y)dy/y 可以推导如下结果：,一般，有限次连乘除的结果的相对误差限是各乘数、除数的相对误差限之和。,目录,Home,= 1.3.1 算法的数值稳定性概念,=1.3.2 设计算法的若干原则,Home,目录,1.3 算法的数值稳定性,例,求解一元二次方程x2+2px+q=
9、0 ，其中p= - 50000, q=1, 在8位十进制计算机上计算。,算法1、直接用求根公式,算法2,由韦达定理， x1x2=q=1, x2=1/x1=0.000010000000,结果失真，因为方程显然无0根，。,1.3.1 算法的数值稳定性概念,Home,目录,原因：,求根公式之一会造成相近两数相减，从而损失有效数字。,求解一元二次方程x2+2px+q=0 较好的算法：,一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。,上例的算法1误差太大，是数值不稳定的算法。算法2较准确。,目录,概念：,Home,1.3.2 设计算法的若干原则,1.要避免相近两数相减,当x1,可化,例,2. 要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据,3. 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累,例,采用“秦九韶算法”,计算多项式,只需n次乘法和n次加法。,目录,Home,当x接近于0时，可化,4. 要避免绝对值小的数作除数,当x1 时，可化,例,5. 设法控制误差的传播,例,计算积分,递推公式,误差传递规律:,公式改为,则误差按规律,逐渐缩小,目录,Home,
