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1、1,1 简谐振动及其描述2 简谐振动的动力学方程3 简谐振动的能量4 简谐振动的合成5 阻尼振动 受迫振动 共振,讨论课之五,机械振动,2,基本要求,教学基本内容、基本公式,掌握简谐振动及其特征量（频率、周期、振幅和周相），掌握旋转矢量法。能熟练建立谐振动运动学方程。理解谐振动的能量。熟悉阻尼振动、受迫振动、共振。掌握同方向同频率谐振动的合成。了解同方向不同频率谐振动的合成，相互垂直的谐振动的合成。了解频谱分析。,1. 振动、简谐振动,任何物理量在某值附近变化都称振动。,简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。,简谐振动的特征量（振幅、周期、频率和相
2、位）,振幅 A,周期T 和频率,相位,初相位,3,谐振动微分方程,该方程的通解可写为：,A和0由初始条件确定,动力学分析：,物体所受的力F跟位移x正比反向，物体作谐振动。,物体的加速度跟位移正比反向，物体作谐振动。, 固有(圆)频率，由系统内在性质所决定。,4,2. 简谐振动的能量 (以水平弹簧振子为例),动能,势能,系统总的机械能：,简谐振动系统机械能守恒,3. 简谐振动的合成,(1)两个同方向同频率简谐振动的合成合振动仍是简谐振动,其频率与分振动的频率相同。,若两分振动同相20 10 =2k ( k = 0,1,2, )则A=A1+A2 , 两分振动相互加强,若两分振动反相20 10 =(
3、2k+1) ( k = 0,1,2, )则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱,5,(2)同方向不同频率的两个简谐振动的合成,两个简谐振动的频率1和2很接近，合成产生拍现象。,拍频: 单位时间内强弱变化的次数,(3)两个同频率相互垂直的简谐振动的合成,合运动一般一个椭圆。,(4)方向垂直的不同频率的简谐振动的合成,两振动的频率成整数比，合运动轨迹称为李萨如图形。,两个简谐振动合成得：,6,两个同频率相互垂直的简谐振动的合成的几种特殊情况,7,4. 阻尼振动,1)运动方程,（胡克定律）,恢复力,阻尼力,阻尼振动振幅(或能量)随时间不断减少的振动.,能量减少的原因:,摩擦阻尼和辐射阻尼. 为方便
4、，均视为摩擦阻尼,0为固有频率,令, 为阻尼因数,8,2.) 运动学特征,(1)欠阻尼振动,其解：,其中：,振幅随时间衰减,周期振动,阻尼越小，越接近谐振动,阻尼越大，“周期”越长,准周期,9,c1、c2是由初始条件定的常数.,(2) 过阻尼状态（阻尼大）,其解：,此时物体不再作振动，以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置，如弹簧振子放入粘性大的油中.具体运动过程与初速v0有关.,10,c1、c2亦由初始条件定.振动物体从静止开始运动回复到平衡位置时最短.,(3) 临界阻尼状态,一般解：,11,5 受迫振动,受迫振动振动系统在周期性外界强迫力作用下的振动.,（1. ）动力学方程,设驱动力,对弹簧振
5、子,F0为力幅,得,令,12,在小阻尼情况，通解为：,2）受迫振动的运动特征,经一段时间,振子达稳定振动状态,其特点：,为纯阻尼振动t此项为零,不随 t 衰减, 稳态解,(1) 频率与驱动力频率相同.,(2) 并非决定于初始条件，是稳定振动的位移与驱动力的相位差.,13,(3) A0由固有参量决定,（3）共振,位移共振振动系统受迫振动时,其振幅达极大值的现象.,由,得共振频率,(位移共振条件 ),共振时位移与驱动力的相位差,14,速度共振（速度振幅最大）.,速度共振条件,不同物理量有不同的共振条件., =2,15,1. 一质点作简谐振动，周期为T当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大
6、位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4 ,旋转矢量法,首先画出二分之一最大位移处旋转矢量图，,然后，再画最大位移处旋转矢量图。,设所求的时间为t，则有,C,16,2. 如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为,(A) (B) (C) (D), ,D,17,3 将以弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动周期变为,（A） 原来的一半 （B）原来的一倍 （C) 原来的 倍 （D）原来的 倍,D,18,4. 一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质点的
7、振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) p/6 (B) 5p/6 (C) -5p/6 (D) -p/6 (E) -2p/3,答案：(C),参考解答：,令简谐振动的表达式：,对 t 求导数得速度表达式：,在本题中，,考虑,即,19,5. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的_（设平衡位置处势能为零）当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长Dl，这一振动系统的周期为_,3/4，,位移等于振幅的一半时,20,例题2 弹簧振子如图所示,弹簧原长L，质量ms，劲度系数k，振子质量m，计算弹簧振子系统的固有频率.,解 以弹簧子自由伸长处为原点建立坐标Ox，
8、距弹簧固定端l 处取一元段d l.振子发生位移x, 则dl 段的动能,等效质量,21,弹簧振子系统的总质量,系统的固有频率,对吗？,假设,是否合理？,22,6. 图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为x = x1+ x2 = _(SI),设：,同理：,23,7. 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱的拍音若测得在20 s内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300 Hz，则待测音叉的频率为_,拍频: 单位时间内强弱变化的次数,24,8. 一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经
9、过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A点处的速率,解：,可知,(1) 以的中点为坐标原点，x 轴指向右方,t = 0时，,t = 2s时，,由上二式解得,因为在A点质点的速度大于零，所以,A和B所对应的旋转矢量在同一直线上。,25,8. 一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm求：(1) 质点的振
10、动方程；(2) 质点在A点处的速率,解：,t = 0时，, 振动方程,(2) 速率,当t = 0 时，质点在A点,26,单摆周期的研究: （1）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内；（2） 单摆悬挂于以加速度a（ag）下降的电梯内; (3)单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为l.,27,9如图1所示，一定滑轮的半径为R，转动惯量为I，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率,解：取如图x坐标，平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长x0,设m在x位置，分析受力, 这时弹簧伸长,由牛顿第二定律和转动定律列方程：,联立解得,由于x系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为,28,劲度系数为k、质量为m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，在光滑水平面内作直线运动。求其动力学方程。,系统机械能,系统机械能守恒，有,将能量守恒式对t 求导,29,纵波的波动方程,横波的波动方程,柔软弦中的横波,30,纵波的波动方程,边界条件,31,要满足X(0)=0,32,33,
