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1、,第8章 矩量法,计算电磁学矩量法(2011版),主要内容,矩量法思想加权余量法原理MOM中基函数、权函数静场问题的MOM法细导线问题的MOM法,1.概述,矩量法（Method of Moment，MOM）在天线、微波技术和电磁散射等方面广泛应用的一种方法，这些实际工程问题涉及开域、激励场源分布形态较为复杂。MOM将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程问题R.F. Harrington在20世纪60年代对矩量法求解电磁问题做了全面深入分析。矩量法在数学处理上可采用加权余量法或定义泛函内积等方法展开。既要理解通常矩量法构造的数学基础，又能把握其他数值计算方法与之相关的内在联系，采用加权余量法概念
2、说明矩量法。加权余量法（Method of Weighted Residuals）将积分、微分方程离散化为矩阵方程的方法，统一归结为加权余量法，由此构造各种近似计算方法统一的数学基础。,矩量法思想,根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量，故此法称为（Moment of Method, MOM）矩量法。矩量法之名来源于数学，我们知道数学上常称 为f(x) 的n 阶矩。,矩量法思想,不同电磁问题的算子方程,2.加权余量法,给定边值问题的场方程（微分或积分方程）及边界条件统一表述为
3、如下的算子方程,未知函数展开,对函数 近似构造一个由有限个无关函数 所组成的基函数集合 ，并要求满足总体边界条件因为是近似解，必有误差存在，这误差称之为余量，记作,权函数,使余量 在某种平均意义上为零，我们对余量表达式加权后再求积，在积分区域上使其值为零 为加权函数（称试探函数），由多个（n个）试探函数作用于余量表达式，构成n个方程组，等价于强制的近似解 ，使其不能精确地满足场方程而导致的误差在平均含义上等于零。这种方法统称为加权余量法。,矩量法,上式相当于在余量表达式 对 取矩的一组平衡式，故称这种构造方法为矩量法。矩量法与加权余量法属于同一数学描述。处理加权余量式,离散化为矩阵,左边等于,
4、书写方便，定义内积表达式右边等于,加权余量式可简写成,离散化为矩阵,上式为含n个未知数 的n个方程，可以用矩阵的形式来表示,矩阵计算,计算出系数 u1,u2,u3,uN.,MOM在函数空间中的图形表示,基函数构造,基函数可以分为全域基函数和分域基函数全域基函数：算子L的定义域，即待求函数 的定义域内都有定义的基函数,傅立叶级数,马克劳林级数,勒让德多项式,分域基函数,分域基函数：待求函数 的定义域中相应子域内才有定义的基函数,一维阶梯状插值脉冲函数,分域基函数,一维分段线性插值三角形函数脉冲函数,分域基函数,三角元剖分插值。基函数是三节点三角形的形状函数,分域基特点：具有“局部化”特点，即只在
5、一个局部范围内不为零，其余全为零，离散点值的变化将只直接影响到其相衔接的子域，从而保证节点n递增时插值过程的数值稳定性。,分域基的数值稳定性较高，全域基的收效性较好。若选择的基函数和实际解答愈接近，收敛愈快。,权函数的选取,由加权余量表达式 ，不同的权函数选择，将决定算子方程的余量 在不用意义下取零，可得到不同计算模式的矩量法。,点匹配法（狄拉克 函数）,定义,MOM矩阵元素,权函数的选取,伽辽金法（选取的权函数等于基函数 ）,权函数的选取,最小二乘法（权函数为余量本身）,最小二乘法在函数逼近、最优化问题等方面都有广泛的应用，它是通过定义目标函数F为余量R平方和，求极小值的一种方法,把算子方程
6、余量 代入上式，则F便成为待定系数 的多元函数。极值问题为一个多元函数的极值问题，其必要条件,权函数的选取,由于 是未知系数，不是空间坐标的函数，上式可展开,从上式可以看出，我们取权函数 ，这样得到于MOM法一样的表达式。,还有其它权函数选择方法，如将场域剖分成多个子域，定义子域内的权函数为1，构成子域匹配法。,MOM的基函数权函数选取,基函数与权函数的不同配合对待求物理场问题所需的计算工作量，以及所得解答是否符合要求等方面都将有不同的影响。如算子方程是积分方程，虽然分域基的数值稳定性较高，并且计算量也少，单其光滑性较差，对某些积分方程不适用。若积分方程中存在有待求函数的微分运算，则显然不能用
7、脉冲函数作为基函数，但描述静电场问题的积分方程中，没有微分运算，对基函数没有这一限制。,3.静电场下的MOM计算,静电场问题，在采用分域基的场合下，因选取脉冲函数为基函数，计算过程比较简单。在权函数的多种选取方案中，以点匹配法最为简捷，故此构成的矩量法在静电场问题的求解中得到有效的应用。,点匹配法实例,一维静电场分布一平行板电容器，两极板接地，板间体电荷密度 板间距为单位长度。忽视边缘效应，试求一维静电场问题的场分布。数学模型,一维静电场分布,基函数为全域基因为解为幂级数形式，基函数含有幂级数 给出的基函数满足给定的边界条件。 等间距的匹配点，权函数为狄拉克 函数,一维静电场分布,基函数、权函
8、数代入MOM矩阵方程，矩阵元素取n为2时与解析解相同，n2时，得到的解一样。,一般积分方程边值问题,一般积分方程边值问题，点匹配法通常采用的基函数为脉冲函数。静场积分方程的数学模型步骤：（1）离散化带电体的表面，设剖分为n个子块 ，且令每子块电荷密度 分别为相应的常量。待求面电荷密度函数 可用基于脉冲函数近似表达,一般积分方程边值问题,（2）在给定边界条件 的导体表面上设定m个匹配点。（3）计算带电体表面各子块对应的元电荷在各匹配点上产生的电位，并分别叠加，从而各匹配点Mj上电位必须等于边界上给定的电位值，建立静场积分数学模型的离散方程。（4）按配点法计算模式建立方程，计算待定系数（5）由求出
9、的 ，由步骤（1）的表达式，即求出待求电荷密度 的数值解。求出已知场源分布的前提下，求得场中任意点电位、场强、电容参数。,带电导体棒的电场分布,半径为a，长度为L的细长带电导体棒，给定电位 ，求此带电导体棒的电场积分方程因为La，化简为,Ref. The method of Moments in Electromagnetics, Walton C. Gibson,带电导体棒的电场分布,导体棒的分段模型基函数展开由边界条件,带电导体棒的电场分布,把基函数代入边界积分方程,带电导体棒的电场分布,点匹配法计算（权函数作用）,计算电位系数（MOM矩阵元素）,带电导体棒的电场分布,矩阵方程为,带电导体
10、棒的电场分布,计算出场源 ，基于数值积分法，可以计算出任意空间 点 的电位和场强。,导电平板的静电场,设正方形导电板，边长为L，位于Z0平面上，中心点如图示，若导电平板电位V0，试求导电板上的电荷分布及电容,导电平板的静电场,1、首先分扳为N个均匀小块S ，并选基函数为分域脉冲函数。代入边界的积分方程2、选权函数,导电平板的静电场,3、求内积,导电平板的静电场,4、矩阵主角元素计算当m=n时,Integrant is a Singularity,导电平板的静电场,导电平板的静电场,5、矩阵方程,4.细导线MOM,位函数概念,细导线MOM,位函数概念,细导线的积分方程,利用边界条件求得细直导线之
11、电流分布位,细导线的积分方程,矢量位计算,细导线的积分方程,散射场切向分量,细导线的积分方程,细导线激励问题,通常工程上细直线天线馈电,细导线激励问题,馈点上的场激励,计算Hallen方程,分析,计算Hallen方程,计算Hallen方程,基函数展开,对称模式,计算Hallen方程,权函数作用，得到Hallen方程左边表达式,权函数作用，得到Hallen方程右边表达式,得到方程,计算Hallen方程,计算系数a，必须计算未知系数D1,因为天线的端点处满足边界条件,代入上面方程得到系数D1的表达式,计算Hallen方程,采用脉冲基函数和点匹配方法,Non-self terms,M-point numerical quadrature,Self terms, m=n,计算Hallen方程,方程右边式子得,如在中间采用点缝源激励,计算Pocklinton方程,采用MOM分析,计算Pocklinton方程,采用脉冲基函数和点匹配法,计算Pocklinton方程,得到矩阵元素,集总元件和分布阻抗,为改变天线的特性，添加阻抗到积分方程。即修改阻抗加载段上的边界条件，设段上阻抗为zl,EFIE的右边为,
