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1、4.1 根轨迹方程,根轨迹：是指开环系统某个参数由0变化到，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。,闭环特征方程为 s2+s+K=0, 解得闭环特征根表达式,令K（由0到 ）变动，s1、s2在s平面的移动轨迹即为根轨迹。,研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、稳态性能、动态性能）,4.1.1 根轨迹概念,4.2,4.3,根轨迹增益： K*为开环系统根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益 等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及mn可知）,开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多
2、项式方程的根。闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。（K*0, 开闭环极点相同。）,4.1.2 开/闭环传递函数零极点表达式,根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、极点分布 及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。,1. 由闭环特征方程得根轨迹方程为G(s)H(s)= 1,4.1.3 根轨迹方程,再把矢量方程表示为模值方程与相角方程，其模值方程和相角方程分别为：,2. 将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程为：,法则4: 实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹
3、区段的右侧，开环零、 极点数目之和应为奇数。,法则6: 根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk) ： 起始角：,法则2: 根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于s平面实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。法则3: 根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。,法则5: 根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标而渐近线与实轴正方向的夹角 k依次取0,+1,1,+2,2,一直到获得n-m个倾角为止。其中，n为开环极点数，m为开环零点数。 (a可由相角方程中S得到。),4.2 根轨迹
4、绘制的基本法则,例1a,4.3,证1,4.1,例1,例3,证1,例1b,例2,证2,法则1: 根轨迹的分支数：根轨迹在s平面上的分支数等于闭环 特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的数目相同。,法则8: 根轨迹与虚轴的交点：,法则7: 分离点（会合点）坐标d：几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点，称为分离点。分离点的坐标d可由方程,终止角：,紧转例4,法则9: 根之和： 若n-m=2，则有,例3,证3,例2,例2,证明1,由根轨迹方程：,其余n-m条终止于无穷远处:,起点:K*=0, 式(#) , 所以s=pi (i=1,2,n) 终点:K* ,式(#) 0, 所以s=zj (j=1,2,m),证明2,由,同理得,假设在一开环极点p1附近取一点s1, 则,证明3,系统闭环特征方程为,代入得,根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为,两式相除得,例1a,例1b,例2,例3,开环增益为 K=K/2 ，K的稳定域为 0K3 .,例: 某单位反馈系统，,例4,例:,若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。,
