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1、1,6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点分离点或会合点的必要条件：式中,2,设系统的开环传递函数,3,根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重根，必同时满足 和 。因此求得：消去 ，可得到：便于忘记，上式又可写成： 或 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。,4,例: 设系统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。解：系统的开环传递函数：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K0，故s1舍去；s2代入，求得K0 。所以s2会合点。,(舍去),5,检验K
2、1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。 一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点)之间；则个分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。,6,四重分离点 复数分离点,7,另外两种表达形式： (1) 因为令 , 即得到,8,仍以上例说明:因为令求得,(舍去),9,(2) 因为 即 其中 即 所以,-,10,仍以上例说明: 因为 消去分母 解上式得到 经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果
3、一定要检验，舍去K0所对应的值。,（舍去）,11,复杂情况用试探法。在-2-3之间存在一个分离点。所以分离点的位置为,12,7、根轨迹的出射角与入射角 若根轨迹的一个分支离开复极点 的出射角为 ，则 （各零点到 的向量幅角 之和） （其它各极点到 的向量幅角 之和）若根轨迹的一个分支终止于复零点 的入射角为 ，则 (各极点到 的向量幅角 之和) (其它各零点到 的向量幅角 之和),13,出射角(或入射角)是指根轨迹离开复极点 (或终止复零点)处切线的倾角。 在根轨迹曲线上取试验点s1，与复极点-pa的距离为 。当 时，可近似地认为s1在切线上，切线的倾角就等于复极点的出射角。所以 的出射角:,
4、14,8. 根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 的 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。介绍常用的三种方法。(1) 利用特征方程求取。用 替代s，令虚部、实部分别等于 零，求得 和对应的K1。(2) 利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助 方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。(3) 利用试探法求取。先给出根轨迹的大致图形，根据经验 选择满足幅角条件的试探点求出 ，再利用幅值条件确 定交点处的K1值。,15,解： 起点：0 3 1j 1-j 终点： (1) 渐近线：n-m=4 条。倾角： 与实轴
5、的交点： (2) 实轴上的根轨迹：,16,17,(3)分离点：试探法求得(4) p2出射角 :-p1,-p3,-p4到-p2 的幅角分别 、 、 .所以同理不难求得极点-p3处的出射角：(5)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：,18,实部方程： 虚部方程： 解得：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列令 s1行首项为零，即求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程,(舍去),19,9. 根轨迹的走向 当n-m2满足时，随着K1增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。开环传递函数：特征方程： 当满足n-m2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合
6、并，通常把称之为极点的“重心”。,20,当K1变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动.例,21,10. 根轨迹上K1值的计算根轨迹上任一点S1处的K1可由幅值条件来确定。即 =,22,例: 系统的开环传递函数试画根轨迹，并确定 时K1的值。 解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。 (1) 渐近线：3条。 渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点：（2）分离点： 即 （舍去）,23,（3）与虚轴的交点系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令 代入，求得 实部方程: 虚部方程：解得： (舍去)（4）确定 时的K1
7、 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A， 使得 ， 测量得:求得,24,A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置:K1=44.5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。,25,绘制根轨迹图的十条规则,26,27,一、复域分析1稳定性分析：当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。 当K1240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实 部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。 当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。2稳态性能分析： 系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，K1越大，
8、ess越小，稳态性能也越好，但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。,4.3 控制系统性能的复域分析,28,3动态性能分析：当0K117时，系统根为负实数，可看成三个惯性环节串联。当17K1240时，两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，系统的阶跃响应带有振荡特性。K1越大，振荡越厉害。 若取=0.5，极点： s1=-1.2+j2.1，s2=-1.2-j2.1， s3=-7.6。s1、s2可看成主导极点，s3可忽略，即可用二阶系统的来近似该系统。求得复域动态性能指标：=0.5，n=2.4对应的时域指标： ts= =2.9sp=16.3%,29,二、增加开环零、极点对系统性
9、能的影响系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。1增加极点（以具体系统加以说明） 一般可以认为，当函数G(s)H(s)在s左半平面增加极点，会促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。设 系统的开环传递函数：增加极点: s=-b,30,增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由900变为600。分离点向右移。 (a) 稳定， (b) 在K1小时稳定， K1大可能不稳定。,(a),(b),31,32,-,2增加零点（以具体系统加以说明） 对G(s)H(s)函数增加零点，会使根轨迹向s平面左半部移动，系统的稳定性增加。,增加一个实零点后的根轨迹,33,增加一对共轭复数零点后的根轨迹,34,3. 闭环零、极点对系统动态性能的影响 (1) 闭环极点的分布决定了动态响应的类型(振荡情况)； (2) 闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标； (3) 闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度 加快，超调量增大，峰值时间提前； (4) 系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点； (5) 远离虚轴的极点(或零点)和偶极子对动态性能的影响 可以忽略； (6) 主导极点对系统的动态性能起主导作用；,
