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1、1,第9章 回归分析,教学目的和要求：,通过本章内容的教学，使学生掌握一元线性回归方程的求法、回归方程的方差分析与显著性检验方法；了解一元非线性回归方程的求解思路及回归曲线效果和不确定度评定；了解多元线性回归方程的求法和显著性检验与不确定度评定方法。,主要内容：,1 回归分析的基本概念：概念、回归分析的主要内容。2 一元线性回归：一元线性回归方程的求法、回归方程的方差分析与显著性检验、重复实验判断回归方程拟合性、回归直线的简便求法。3 一元非线性回归：回归曲线类型的选取和检验、化非线性回归为线性回归、回归曲线效果与不确定度评定。4 多元线性回归：二元线性回归方程的求法、多元线性回归、多元线性回
2、归的显著性检验与不确定度评定。5. 线性递推回归：回归系数的递推计算公式、计算步骤。,第一节基本概念,变量间的关系可分为函数关系和相关关系。本节介绍这两种关系，并对回归分析的一些基本概念作一个简要的介绍。,变量间的函数关系,1、是一一对应的确定关系,2、设有两个变量x 和y，变量x 随变量y 一起变化，并完全依赖于x ，当变量x 取某个数值时, y 依确定的关系取相应的值，则称y 是x 的函数，记为y =f(x)，其中x 称为自变量，称y 为因变量,如以速度v作匀速运动的物体，走过的距离s与时间t之间，有如下的函数关系 s=vt,变量间的相关关系,1、变量间关系不能用函数关系精确表达,3、当变
3、量x取某个数值时，变量y的值可能有几个,2、一个变量的取值不能由另一个变量惟一确定,如人的身高(y)与体重(x )之间的关系,什么是回归分析？,3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预测或控制可达到的精密度。,一种处理变量间相关关系的数理统计方法。,他主要解决以下几个问题,1、从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式,2、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著,回归模型的类型,回归模型,一元回归,线性回归,非线性回归,线性回归,非线性回归,多元回归,一个自变量,两个及两个以上自
4、变量,回归模型,1、回答“变量之间是什么样的关系？”,2、方程中运用,1个数字的因变量,1个或多个数字的或分类的因变量,3、主要用于预测或估计,第二节一元线性回归,一元线性回归模型概念,1、当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量与自变量之间为线性关系时称为一元线性回归,3、描述因变量如何依赖于自变量和误差项的方程称为回归模型。,2、对于具有线性关系的两个变量，可以用一个线性方程来表示它们之间的关系,由实验获得两个变量和的一组样本数据，构造如下一元线性回归模型,一元线性回归模型概念,模型中，是的线性函数部分加上误差项,线性部分反映了由于的变化而引起的变化,误差项是随机变量,反映了除和之间的线
5、性关系之外的随机因素对的影响,是不能由和之间的线性关系所解释的变异性,和称为模型的参数,1、误差项是一个期望值为的随机变量，即。对于一个给定的值，的期望值为,2、对所有的值，的方差都相同,3、误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即,独立性意味着对于一个特定的值，它所对应的与其它值所对应的不相关,对于一个特定的值，它所对应的值与其它值所对应的不相关,一元线性回归模型基本假定,1、描述的平均值或期望值如何依赖于的方程称为回归方程,2、简单线性回归方程的形式如下,方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程,是回归直线在轴上的截距，是当时的期望值,是直线的斜率，表示当每变动一个单位时，的
6、平均变动值,回归方程概念要点,1、总体回归参数和是未知的，必须利用样本数据去估计他们,2、用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，这时就得到了经验的回归方程,3、一元线性回归的经验的回归方程,是回归直线在轴上的截距,是直线的斜率，它表示对于给定的的值，是的估计值，也表示当每变动一个单位时，的平均变动值,经验的回归方程,式中,根据最小二乘法的要求，可得,和的计算公式,二、回归效果F检验,偏差平方和的分解,测量值之间的差异来源于两个方面,由于自变量取值的不同造成的,除以外的其它因素(如对的非线性影响、测量误差等)的影响,对一个具体的观测值来说，变异的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示,偏
7、差平方和的分解图示,两端平方后求和得到,总偏差平方和,回归平方和,残余平方和,三个平方和的关系,自由度,计算公式,在总的偏离中除了对线性影响之外的其它因素而引起变化的大小,在总的偏差中因和的线性关系而引起变化的大小,总偏差平方和,回归平方和,残余平方和,意义,反映因变量的n个观测值与其均值的总偏差,三个平方和的意义,回归方程的显著性检验,1、检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著,2、具体方法是将回归平方和和残余平方和加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著,如果是显著的，两个变量之间存在线性关系,如果不显著，两个变量之间不存在线性关系,2、计算检验统计量,3、在给定显著性水平 下，
8、由分布表查得临界值 。,4、作出决策。若，拒绝，则认为该回归效果显著。反之，则不显著。,即,检验步骤,1、提出假设,线性关系不显著,估计残余标准误差,4、残余标准差的计算公式,1、表征除了与线性关系之外其它因素影响值偏离的大小,2、反映实际观测值在回归直线周围的分散状况,3、从另一个角度说明了回归直线的拟合程度,方差分析表,三、回归系数的不确定度与回归方程的稳定性,回归系数的不确定度,1、回归系数的不确定度是描述回归系数的分散性,2、回归系数和的标准不确定度的计算公式,3、回归系数和的协方差的计算公式,式中，是残余标准差,回归方程的稳定性,1、回归值的波动大小，波动愈小，回归方程的稳定性愈好。
9、,2、回归值的波动大小的计算公式,标准不确定度来表示。,回归值的波动大小不仅与剩余标准差s有关，而且还取决于试验次数n及自变量取值范围。,提高回归方程中各估计量稳定性的方法,(1) 提高观察数据本身的准确度,(2) 尽可能增大观测数据中自变量的取值范围,(3) 增加观测次数,(4) 减小残余误差，即拟定合适回归方程使其尽可能合乎实际数据的变化规律,四、回归预测值及其不确定度,回归预测值及其不确定度,、利用估计的回归方程，对于自变量的一个给定值，求出因变量的一个估计值，就是回归的预测值,的标准不确定度来表述,的扩展不确定度来表述,2、预测值与实际值之间存在偏差，因此给出预测值时，还必须给出其不确
10、定度。有以下两种表示方式,例题,试对下表所列实验数据做直线拟合，并作方差分析和预测。,180,200,145,165,123,110,191,205,104,100,141,135,151,180,190,220,134,135,144,160,110,130,153,145,141,125,190,190,108,110,155,160,204,235,190,210,158,130,177,185,150,170,161,145,107,115,177,205,121,125,165,195,180,240,143,160,151,135,154,150,127,135,147,155,1
11、16,100,115,120,【解】,直线拟合计算,故有,直线拟合,方差分析,偏离,回归,残余,总和,平方和,自由度,标准差,统计量,置信限,0.01,高度显著,41037,9057,50094,32,33,16.8,145.0,7.50,预测,对于，查分布表得,故有,回归直线及预测区间,第三节 一元非线性回归,非线性回归分析,5、 比较不同模型拟合所得的原剩余平方和，选最小者即为所求。,2、选择回归模型。根据实验数据散点图分布的特点以及所掌握的物理规律，选择可线化函数的模型。,3、作线性化变量变换后，按一元线性回归问题计算待定的系数、原的剩余平方和。,、如果对拟合结果不满意，再选择其它模型，
12、重复以上步骤 。,1、因变量与自变量之间不是线性关系,几种常见的非线性模型,指数函数,1、基本形式：,2、线性化方法,两端取对数得,令,、图像,几种常见的非线性模型,指数函数,1、基本形式：,2、线性化方法,两端取对数得,令,、图像,几种常见的非线性模型,幂函数,1、基本形式：,2、线性化方法,两端取对数得,令,、图像,几种常见的非线性模型,双曲线函数,1、基本形式：,2、线性化方法,令,、图像,几种常见的非线性模型,S型曲线,1、基本形式：,2、线性化方法,令,、图像,几种常见的非线性模型,对数函数,1、基本形式：,2、线性化方法,令,、图像,第四节多元线性回归,一、多元线性回归方程,多元线
13、性回归模型概念要点,1、一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归,2、描述因变量如何依赖于自变量和误差项的方程称为多元线性回归模型,3、涉及个自变量的多元线性回归模型可表示为,是参数,是被称为误差项的随机变量,是的线性函数加上误差项,说明了包含在里面但并不能被个自变量的线性关系所解释的变异性,多元线性回归模型概念要点,对于组实际观测数据，多元线性回归模型可表示为,式中,多元线性回归模型基本假定,1、自变量是确定性变量，不是随机变量,2、随机误差项的期望值为，且方差都相同,3、误差项是一个服从正态分布的随机变量，即，且相互独立,多元线性回归方程概念要点,1、描述的平均值或期望值如何依赖于的方程
14、称为多元线性回归方程,2、多元线性回归方程的形式为,称为偏回归系数,表示假定其他变量不变，当每变动一个单位时，的平均变动值,多元线性回归的估计(经验)方程,1、总体回归参数是未知的，利用样本数据去估计,2、用样本统计量代替回归方程的未知数，即得到估计的回归方程,是的估计值,是的估计值,参数的最小二乘估计,计算过程,二、线性回归效果检验,回归方程的显著性检验,1、检验因变量和所有的自变量之间的是否存在一个显著的线性关系，也被称为总体的显著性检验,2、具体方法是将回归平方和和残余平方和加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著,如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系,如果不显著，因变量
15、与自变量之间不存在线性关系,检验的步骤,2、计算检验统计量,1、提出假设,线性关系不显著,至少有一个不等于,3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值,4、作出决策。若，拒绝，则认为该回归效果显著。反之，则不显著。,偏离,回归,残余,总和,平方和,自由度,标准差,统计量,置信限,显著否,方差分析表,三、每个自变量在多元回归中所起的作用,1、一个多元线性回归方程是显著的，并不意味着每个自变量 对因变量的影响都是重要的,可能其中有某些变量的作用很小。,2、用偏回归平方和来考察每个特定因素在总回归中所起的作用,偏回归平方和,回归平方和，反映了所有 个回归自变量对因变量 的总影响,舍弃某，其余个回归
16、自变量可拟合出元线性回归方程，其相应的回归平方和，它反映了其余个回归自变量所起的总作用。,表示出单独对回归因变量的影响,偏回归平方和的实用计算公式,原元回归的正规方程系数矩阵L的逆矩阵 中的第列元素,回归方程的回归系数,1、直接利用定义式计算偏回归平方和非常繁杂,2、可利用实用公式计算,分析步骤,(1) 计算每个自变量的偏回归平方和,(2) 凡是偏回归平方和大的变量，一定是对有重要影响的因素。可用残余平方和对它进行检验。,计算统计量,当时，则认为变量对的影响在水平上显著,(3) 偏回归平方和小的变量，不一定不显著。但偏回归平方和最小的那个变量，肯定是所有变量中对作用最小的一个，假如此时变量检验
17、结果又不显著，那可以将该变量剔除。剔除一个变量后，得重新建立元新回归方程，计算回归系数和偏回归平方和。,在对的多元回归中，当取消一个变量后，个变量新的回归系数（），与原来的回归系数之间有如下关系,新老回归系数间的关系,，原元回归的正规方程系数矩阵L的逆矩阵 中的元素,第五节 线性递推回归,一、回归系数的递推计算公式,设回归模型为yb0b1x1bMxM系数矩阵,引理：设A、C和A+BCD为非奇异方阵，则下列等式成立（A+BCD）-1A-1A-1B（C-1DA-1B）-1DA-1 将XN+1的展开式代人CN+1,BN+1 = N+1将CN+1、BN+1的展开式代入bN+1bN+1CN+1BN+1=
18、CNBNCNZ(1ZTCNZ)-1ZTCNBNCNZyN+1CNZ(1ZTCNZ)-1ZTCNZyN+1将上式后两项归并整理CNZ（1+ZTCNZ）-1（1+ZTCNZ）ZTCNZyN+1CNZ（1+ZTCNZ）-1yN+1,将上式代人bN+1bN+1CNBNCNZ（1ZTCNZ）-1（yN+1ZTCNBN) bNCNZ（1+ZTCNZ）-1（yN+1ZTbN）令 kN+1（1ZTCNZ）-1 CNZ 则 bN+1bNkN+1 （yN+1ZTbN） 将kN+1代入CN+1 CN+1CNkN+1ZTCN此即回归系数递推解的计算公式,二、计算步骤,1、计算b和C 的初始值bN、CN 2、计算kN+
19、1 3、计算回归系数矩阵bN+1 4、重复2至3步，直至数据采样本结束，这样把每增加一组数据后的回归方程系数全部解算出来。,例题,自动补偿的水准仪居中误差与温度和湿度的变化量呈线性相关关系，测量时仪器对上述原因产生的误差自动修正，修正模型的计算采用递推回归方法，表中的数据为一个样本，现进行递推回归计算。,1、计算b、C的初始值bN、CN 设回归模型为yb0b1x1b2x2取前4组数据计算bN、CN ,即：N4 ，M2,初始的回归方程为y0.52861.5143x10.7143x2 2、计算k5 k5（1+ZTC4Z）-1 C4Z,3、计算回归系数矩阵b5和C5 b5b4b,C5 C4C,4、计算第二次新增数据后的回归系数 第二次新增加的数据为y65.0 ZT（1 6 5.8）计算k6 k6（1ZTC5Z）-1 C5Z,计算回归系数矩阵b6 b6b5b,第二次新增测量数据后的回归方程为y0.373671.02468x10.25046x2,
