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1、1,第2章 平面体系的几何组成分析,2,本章导读 学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。,学习目的：体系的 几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构使用的依据，可以确定静定结构计算途径，可以确定超静定结构的多余约束的数目等。,学习重点:平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；静定结构与超静定结构的概念。 学习难点：灵活运用三个基本组成规则分析平面杆件体系的几何组成性质。,3,b.几何不
2、变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系。,1 体系几何组成的定义,a.几何可变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下，体系原有的几何形状和位置可以改变的体系。,4,c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下，几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不变体系的体系。,组成几何不变体系的条件：,具有必要的约束数；,约束布置方式合理,5,d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。,体系几何组成分析的目的：,a、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于
3、发生刚体运动。 b、了解结构各部分之间的组成关系，有助于改善和提高结构的性能。 c、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的求解途径。,6,造成体系几何可变的原因可能是内部构造不健全或者是外部约束不恰当,图2.2 内部构造不健全造成几何可变,图2.3 外部约束布置不当造成几何可变,7,2. 几个基本概念,形状可任意替换,2.1刚片：将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也可看作是一个刚片。,8,2. 2 自由度 体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称作有2
4、个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。,n=2,平面内一点,平面内一刚片,n=3,9,2.3 约束 体系中能够减少自由度的装置称为约束。,a.单约束：紧连接两个钢片的约束,3-2=1,链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间距不变，起到两铰连线方向约束作用即可,6-4=2,1个单铰=2个约束 =2根单链杆,1根单链杆=1个约束,10,6-3=3,1个刚节点=3个约束,b.复约束：连接三个或三个以上钢片的约束,y,A,x,y,1,2,3,复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。 连结n 个刚片的复铰相当于(n1)个单铰。,11,思考,复刚,一个连接 n个刚片的复刚相当3(n-1)个约束。,复链杆,连
5、接n个结点的复链杆相当于2n-3个单链杆,12,c.多余约束：在一个体系中增加或减少一个约束，使得其自由度保持不变，则此约束称为多余约束。,d.必要约束：在一个体系中增加或减少一个约束，将改变体系的自由度，则此约束称为必要约束。,结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响,必要约束,多余约束,13,支杆、 固定铰支座、 定向支座、 固定支座的约束效果,内容扩展内容,14,（1）支杆（活动铰支座）将支杆所连接的地基和刚片分别视作前述分析链杆约束效果时的刚片和，则容易类比得到一根支杆相当于一个约束。（2）固定铰支座固定铰支座由两根不共线支杆相交构成，因此相当于两个约束。（3）定向支座定向支座由两根不
6、共线的平行支杆构成，因此相当于两个约束。（4）固定支座固定支座可以视作定向支座再叠加与该定向支座支承方向不同的一根支杆构成，因此相当于三个约束。,15,2.4 实铰和虚铰,图2.8 实铰和虚铰示例,16,图2.9实铰的常见情形,17,才从微小运动看，两根链杆所起的作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，此铰可称虚铰。,18,图2.10 虚铰的常见情形,19,3.平面体系自由度计算,计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数,m-刚片数 h-单铰数 r-单链杆数（支座链杆）,W = 3m-(2h+r),20,常见的仅由全铰结点、链杆和支杆组成的体系，称为铰结链杆体系。这类特定体系的计算自由度
7、也可采用以下更为简捷的公式计算,j-结点个数 b-单链杆数 r-支座链杆,21,【例1】试求图示铰结链杆体系的计算自由度。,【解】在图2.13中，用j1j8表示体系中的各个全铰，因此j=8。在链杆和支杆旁，分别用数字与b或r的组合来表示链杆和支杆的个数，因此b=13、r=3。最终该体系的计算自由度为,22,【例2】：计算图示体系的自由度,W=38-(2 10+4)=0,ACCDBCEEFCFDFDGFG,3,2,3,1,1,有几个单铰？,有几个刚片？,有几个支座链杆？,23,【例3】：计算图示体系的自由度,按刚片计算,3,3,2,1,1,2,9根杆, 9个刚片,有几个单铰？,3根支座链杆,按铰
8、结链杆计算,W=2 6-(9+3)=0,24,例4：计算图示体系的自由度,解:,25,解:j=9,b=15,r=3,例5：计算图示体系的自由度,26,【例6】试求图2.12所示体系的计算自由度。,【解】在图2.12中，用m1m9代表组成该体系的各刚片，因此刚片总数m=9。在各结点处，标明其等效的单刚结点（用g表示）或单铰（用h表示）的个数，用g或h前的数字表示，因此g=4，h=7。在各支座处，标明其等效的支杆个数，用r前的数字表示，因此r=3。最终该体系的计算自由度由式（2-4）计算为,图2.12,练习题：计算自由度, （3）,m 7,h9,b,j = 8,b=12+4,81240,28,计算
9、自由度W与几何组成性质之间的关系,W0，表明体系缺少必要的约束装置，一定为几何可变体系。,W=0，表明体系已具备必要的约束装置，但若约束布置不合理，有可能为几何可变,W0，表明体系具备多余的约束装置，但若约束布置不合理，有可能为几何可变,体系为几何不变体系除满足约束个数，尚须约束的合理布置。,29,4. 平面几何不变体系的基本组成规则,几何不变体系的总规则和基本组成规则,30,4.1讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。,1. 一个点与一个刚片之间的组成方式,I,I,一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。,2. 两个刚片之间的组成方式,两
10、个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系. 或两个刚片之间用三根链杆相连,且三根链杆不交于一点,则组成无多余约束的几何不变体系。,3. 三个刚片之间的组成方式,三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。,三角形规律,31,1. 二元体规则,在体系中添加或去掉二元体，不会改变体系的几何性质和多余约束数。,2. 两刚片规则,表述一：平面上的两个刚片通过一铰和一链杆相连，如果链杆所在直线不通过铰心，则组成无多余约束的几何不变体系,表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平行且所在直线不全交于一点
11、，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。,32,3. 三刚片规则,三个刚片用三个不共线的绞两两相连，所得的体系为无多余约束几何不变体系。,规律1. 点与刚片两杆连，二杆不共线,规律2. 两个刚片铰、杆连，铰不过杆,规律3. 三个刚片三铰连，三铰不共线,规律4. 两个刚片三杆连，三杆不共点,组成没有多余约束的几何不变体系,注 1：四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性,固定一点,（1） 从基础出发，由近及远，由小到大,固定一刚片,固定两刚片,4.2 利用组成规律可以两种方式构造一般的结构：,36,37,若上部体系与基础由不交于一点的三杆相连，可去掉基础只分析上部体系,（3）从规律出发，由内
12、及外，内外联合形成整体体系。,铰杆代替,利用虚铰,39,例如三铰拱,大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰,无多余几何不变,40,减二元体简化分析,加二元体组成结构,41,加、减二元体,无多几何不变,42,试分析图示体系的几何组成。,有虚铰吗？,有二元体吗？,是什么体系？,无多余几何不变,没有,有,43,F,例 1,例2,.,例3,无多余约束的几何不变体系,几何瞬变体系,45,4.3 几何可变体系,2.4.1 几何常变体系和几何瞬变体系,现分析瞬变体系的受力特点。取A结点为隔离体，如图2.24(b)所示。由竖向投影平衡得，即由于微小转角q 0，所以FN。这表明，该几何瞬变体系在有限外力的作用
13、下，将产生无穷大的内力，这会导致体系迅速破坏，因此，几何瞬变体系不能作为结构。,图2.24,46,4.4 几何可变体系同几何组成规则之间的关系,1）不满足二元体规则的约束条件若计划用于组成二元体的两链杆共线（或称这两链杆夹角为p），则这两链杆组成的装置不能再称作二元体，同时，也就不能在体系中增删这样的装置。2）不满足二刚片规则的约束条件对表述一，若链杆所在直线过铰心，将导致体系几何瞬变，如图2.25所示。,图2.25 不满足二刚片规则表述一的几何瞬变体系,47,对表述二，可分为图2.26所示的两类四种情况来讨论：（1）三根链杆常交一点，则体系几何常变，如图2.26 (a)、(b)，其中图2.2
14、6(b)中三根链杆全部平行且等长。（2）三根链杆瞬交一点，则体系几何瞬变，如图2.26 (c)、(d)，其中图2.26 (d)中三根链杆全部平行但不全等长,图2.26 不满足二刚片规则表述二的几何可变体系,48,3）不满足三刚片规则的约束条件如果三铰共线，且全是有限远铰，则体系几何瞬变，如图2.27所示。,图2.27 三个有限远铰共线形成的几何瞬变体系,49,图2.28 一些常见的含无穷远虚铰的几何可变体系,50,4.5几何组成分析的一般步骤第1步：求体系的计算自由度W。如果W0，则体系必为几何常变体系。若W0，还需按以下步骤进行分析，以确定体系是否几何不变。本步骤一般可略去。第2步：简化体系
15、。常采取以下简化方法：若整体中有二元体，则可依次去除；检查体系是否简支支承；将只通过两个铰与体系其余部分相连的刚片等效为链杆。第3步：选取刚片。从简化后的体系内部选取合理的刚片，这些刚片应符合几何组成规则的要求。第4步：应用组成规则判定简化后的体系的几何组成性质，其结果也就是原体系的几何组成性质。若本步骤出现无法应用基本组成规则的情况，则说明第3步中选取的刚片不合理，应重做第3和第4步。第5步：下结论。结论应明确为下列四种结果之一：,51,5 . 体系的几何组成与静力特性的关系, 无多余约束的几何不变体系,静定结构仅由静力平衡方程即可求出所有内力和约束力的体系, 有多余约束的几何不变体系,超静
16、定结构仅由静力平衡方程不能求出所有内力和约束力的体系,53,2.5.1 无多余约束的几何不变体系（静定结构）静定结构从几何特征上定义为无多余约束的几何不变体系。正因为没有多余约束，导致静定结构在静力特性上表现为：全部反力和内力均可由静力平衡条件唯一确定。2.5.2 有多余约束的几何不变体系（超静定结构）超静定结构从几何特征上定义为有多余约束的几何不变体系。由于存在多余约束，导致超静定结构在静力特性上表现为：全部反力和内力无法仅由静力平衡条件唯一确定，必须补充变形协调条件才能唯一确定。2.5.3 几何瞬变体系及其静力特性如2.4节所述，几何瞬变体系属于几何可变体系中的一种，常由约束布置不当所致。
17、其静力特性为：在有限大小的任意荷载作用下，体系会出现无穷大的内力，因此不能用作结构。,体系的分类,几何组成特性,静力特性,几何不变体系,几何可变体系,无多余约束的几何不变体系,有多余约束的几何不变体系,几何瞬变体系,几何常变体系,约束数目正好布置合理,约束有多余布置合理,约束数目够布置不合理,缺少必要的约束,静定结构：仅由平衡条件就可求出全部反力和内力,超静定结构：仅由平衡条件求不出全部反力和内力,内力为无穷大或不确定,不存在静力解答,一定有多余约束,静定结构和超静定结构静力特征,55,本章小结（1）平面杆件体系分为几何不变体系和几何可变体系。进行几何组成分析的目的主要是：在一个体系被视作刚体
18、体系的前提下，研究如果保证这个体系成为几何不变体系，从而确保它能被作为结构使用；同时，根据结构的几何组成，可以判定结构是静定结构或超静定结构，以便正确选择相应的静力分析方法和程序，这一点，以后各章经常会用到。（2）几何不变且无多余约束体系的组成，一般遵循一条总规则“三角形规则“（“铰结三角形是内部无多余约束的几何不变体系”），由此可导出三个基本组成规则二元体规则、两刚片规则（含两个表述）和三刚片规则。进行几何组成分析时，常采用“简化体系扩展局部应用规则作出结论”的步骤。“三角形规则”对于分析常规体系非常适用，但它们只是构成几何不变体系的充分条件，而不是必要条件，因为有些复杂体系并不符合这些几何
19、组成规则，但却也是几何不变体系。对于复杂体系，可以采用其他的分析方法（如零载法、矩阵分析法等）来判断确定。,56,（3）结构的几何组成和静力特征之间的关系几何不变且无多余约束静定结构；几何不变但有多余约束超静定结构；几何可变（包括几何常变体系和几何瞬变体系）不能用作结构。（4）能灵活地运用三个基本组成规则分析平面杆件体系的几何组成性质，是本章的重点，也是本章的难点所在。“三角形规则”看似浅显，但运用却灵活多变，初学者往往难于下手，为此，由浅入深地多做一些练习，逐步提高分析能力是十分必要的。,解题方法,3. 将几何不变部分作一个大刚片；复杂形状的链杆可看成直链杆；连接两个刚片的链杆用虚铰代替（代
20、替法）,1. 先找出体系中一个或几个不变部分，在逐步组装扩大形成整体（组装法）,2. 对于不影响几何不变的部分逐步排除，使分析对象简化（排除法）,体系几何组成分析示例,1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。,几种常用的分析途径,依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。故该体系为无多余约束的几何不变体系。,2、若上部体系与基础由不交于一点的三杆相连，可去掉基础只分析上部体系。（当体系用多于三个约束与基础相连时，则必须将基础视为一个刚片参与体系分析）,抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的几何可体系。,3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。,三刚片用不共线三铰相连，故原体系为无多余约束的几何不变体系。,4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。,5、由基础开始逐件组装,主从结构，顺序安装,6 刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前提下，可以改变它的形状及内部组成，即用一个等效（与外部连结等效）刚片代替它。,当刚片通过三个或三个以上铰与外界联系时，可将刚片看成连接这些铰的内部几何不变部分。,64,第二次作业,2.1题 b、d、f2.2题 a、b、c、d2.4题 c2.5题 c、d,
