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1、第五节 频率域稳定判据,第五章 线性系统的频域分析法,教 学 重 点,使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性。,教 学 难 点,5-5 频率域稳定判据,从控制论角度来理解幅角定理。,一、Nyquist判据的数学基础幅角定理,设复变函数,对s平面上的每一个点s(复数)，在F平面上必有一点通过映射关系F(s)与之对应。,对s平面上的任一个不通过极点的封闭曲线C，在F平面上必有一连续封闭曲线通过映射关系F(s)与之对应。,幅角定理：设s平面闭合曲线C包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿C顺时针运动一周时，F平面内的闭合曲线绕原点运动的圈数为：,R=Z-P,说明：当R0时，曲线顺时针包围
2、原点； 当R0时，曲线逆时针包围原点； 当R=0时，曲线不包围原点。,证明：,设曲线C内包含一个零点z1,S沿曲线C顺时针旋转一周，各向量的幅角变化情况为,绕原点的圈数为-1(顺时针1圈)。,由复数运算，知,同理可知：当曲线C内包含一个极点p时，若S沿C顺时针旋转一周，F平面内绕原点的圈数为1圈(逆时针)。,所以，当C内包含z个零点和p个极点时， 若S沿曲线C顺时针旋转一周，曲线顺时针绕原点的圈数：,若R=-P，即F平面内曲线逆时针绕原点的圈数等于F(s)的极点被曲线C包围的个数，则C内没有包含F(s)的零点。,由幅角定理推导出的重要结论：,R=Z-P,1. 复变函数F(s)的选择,二、从控制
3、论角度来理解幅角定理,判断系统是否稳定要看闭环特征方程的特征根在s平面上的分布情况，所以初步选择 为研究对象。,F(s)的极点=开环传函的极点(容易得到)F(s)的零点=闭环传函的极点(不易得到，是研究的对象),系统稳定s平面的右半平面没有(s)的极点 s平面的右半平面没有F(s)的零点,选择曲线C顺时针包围s的右半平面，由幅角定理推导出的结论，知：若R=-P，即F平面内曲线绕原点的逆时针圈数等于F(s)的在右半平面的极点数，则s右半平面内没有包含F(s)的零点，系统稳定。,F(s)的极点=开环传函的极点(容易得到)F(s)的零点=闭环传函的极点(不易得到),GF在F平面包围坐标原点的圈数=G
4、GH在GH平面上包围(-1,j0)点的圈数。,对于开环传函G(s)H(s)，选择合适的封闭曲线C顺时针包围s的右半平面，如果GGH在GH平面逆时针包围(-1,j0)点的圈数R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面极点数P，则闭环系统稳定。,GH平面：将F平面右移一个单位，可得一个新的平面，称之为GH平面。由F(s)=1+G(s)H(s)知： F平面的原点就是GH平面的(-1,0)点。,最终结论：,2. S平面内闭合曲线C的选择,奈氏围线：顺时针包围整个s右半平面的封闭曲线。选奈氏围线为C即可。,由于C不能通过F(s)=G(s)H(s)的极点，分两种情况讨论。,G(s)H(s)无虚轴上的极点 奈
5、氏围线由两部分组成，C1：半径为的右半圆s=Rejq(R，-900q+900) ；C2： s平面的整个虚轴s=j(-+)。,G(s)H(s)有虚轴上的极点奈氏围线在第一种情况的基础上加上开环虚轴极点：,开环系统含有积分环节对应的极点0在原点附近，取s=eejq(e0+, -900q+900)(修正围线C3),s,开环系统含有等幅振荡环节对应的极点在 附近，取 (e0+, -900q+900) (修正围线C4、 C5),C=C1+C2+C4+C5,s,讨论在s平面当s沿奈氏围线C运动时通过复变函数G(s)H(s)映射到GH平面上曲线GGH的情况。,3. GH平面闭合曲线GGH的绘制,G(s)H(
6、s)无虚轴上的极点(=0，0型系统),当s沿C1顺时针移动时，在GH平面上的映射为,m=n时，上式= ，nm时，上式=0。,说明C1 为GGH为一个点，对系统的稳定性研究没有意义。,当s沿C2顺时针移动时，在GH平面上的映射, s=j(0+)：正虚轴，对应GH平面上的开环幅相曲线GGH1 。s=j(-0)：负虚轴，在GH平面中的映射曲线GGH2与开环幅相曲线GGH1关于实轴对称。,n-m=2时C和的GGH对应关系,GGH1,GGH2,C2,C1,C2,C1,n=m时C和的GGH对应关系,GGH1,GGH2,s,s,GH,GH,修正围线C3在GH平面上的映射为, G(s)H(s)含有积分环节,s
7、,G(s)H(s)有虚轴上的极点,C2,C1,R=,C3,修正围线C3映射到GH平面上的曲线是半径为的圆弧，且起始于G(j0-)H(j0-)，终止于G(j0+)H(j0+)，并顺时针旋转角度np(q逆时针旋转p(-900+900)。,n=1，n-m=3时C和的GGH的对应关系,GGH,s,GH,G(s)H(s)含有等幅振荡环节,C=C1+C2+C4+C5,修正围线C4和C5映射到GH平面上的曲线都是半径为，圆心角等于np的圆弧，且起始于G(jwn-)H(jwn-)，终止于G(jwn+)H(jwn+) 。,s,4、GGH包围(-1,j0)圈数的计算,环绕计算法：奈氏曲线包围(-1,j0)的圈数(
8、逆时针为正，顺时针为负)；穿越计算法：奈氏曲线穿越负实轴(-，-1)段的次数，由上至下为正穿越N+，由下至上为负穿越N-。,R=N+N-,以上计算是在全闭合奈氏曲线(-+)下进行的，如果是半闭合奈氏曲线(0+) ，则以上结果应乘以2。,注意：,三、奈氏判据,设奈氏曲线逆时针围绕(-1,j0)点的圈数为R，如果,Z=R-P=0,则闭环系统稳定，否则系统闭环不稳定。,P开环不稳定极点数(开环传函位于s右半平面的 极点数),Z开环不稳定零点数(开环传函位于s右半平面的 零点数),四、奈氏判据判稳实用步骤,1、做常规开环传函极坐标图(0+)；2、从G(j0+)H(j0+)开始，逆时针补画一条半径为，圆
9、心角为 的圆弧；3、计算R(按照正负穿越情况计算)；4、从G(s)H(s)中找出不稳定极点数P；5、按照奈氏判据Z=R-P，判定系统的稳定性。,用奈氏稳定判据判断系统的稳定性,例 一个系统的开环传递函数为,系统稳定,例 系统开环传递函数为,系统不稳定,没有极点位于右半s平面，P=0。,例 系统开环传递函数为,没有极点位于右半s平面，P=0。,五、对数坐标图上的Nyquist稳定性判据,奈氏判据在极坐标图和对数坐标图上的表现形式的对比,0,-1800,-3600,N-,N+,第三象限,第二象限,对数坐标图上R的计算方法：在20lgA(w)0的频段内，相频特性j(w)穿越-1800次数的2倍。,0,-p,N-,N+,-1,j(w)从-p线出发时，计做半次穿越。,0.1,1,10,0.01,0.1,1,10,0.01,-2700,-3600,-1800,-900,00,20,40,-20,-40,辅助线,N-,N+,注意：当开环传递函数含有积分环节时，对应的对数相频特性曲线上w为0+处，用虚线向上增补n个900角。,小 结,掌握使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性的方法。,Z=R-P=0时系统稳定。,P开环不稳定极点数(开环传函位于s右半平面的 极点数)R 奈氏曲线围绕(-1,j0)点的圈数,作业： 5-14 5-15 5-17,
