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1、题型8 解直角三角形的应用,中考概况,一、考点分布及分值设置,附：近三年泸州中考数学关于“解直角三角形”的应用题2017年1.如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70n mile，若该渔船由西向东航行30n mile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30方向上.求该渔船此时与小岛C之间的距离.,解：过点C作CDAB于点D，由题意，得BCD=30.设BC=x.在RtBCD中，BD=BCsin30= 1 2 x,CD=BCcos30= 3 2 x，AD=30+ 1 2 x在RtACD中，AD2+CD2=AC2，即(30+ x 2 )2+( 3 2 x)2=702，解得x1=50,x2=-80(
2、舍去).答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里.,2018年2.如图，甲建筑物AD、乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A、E、B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30，测得C点的仰角为60，求这两座建筑物顶端C、D间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值).,解：由题意知：BC=6AD，AE+BE=AB=90m.在RtADE中，tan30= AD AE ，sin30= AD DE ，AE= AD 3 3 = 3 AD，DE=2AD.在RtBCE中，tan60= BC BE ，sin60= BC CE ，BE= BC 3 = 3 3 BC=2 3 A
3、D，CE= 2 3 BC 3 =4 3 AD.,AE+BE=AB=90m， 3 AD+2 3 AD=90，AD=10 3 m.DE=20 3 m，CE=120m.DEA+DEC+CEB=180，DEA=30，CEB=60，DEC=90，CD= DE2+CE2 = 15600 =20 39 (m).答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20 39 m.,2019年3.如图，海中有两个小岛C、D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20 2 n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50n mile，又测得点B与小岛D相距20 5
4、n mile.(1)求sinABD的值；(2)求小岛C、D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).,解：(1)过D作DEAB于E.在RtAED中，AD20 2 ，DAE45，DE20 2 sin4520（n mile）.在RtBED中，BD20 5 ，sinABD ED BD 20 20 5 5 5 .,(2)过D作DFBC于F.在RtBED中，DE20，BD20 5 ，BE BD2DE2 40（n mile）.四边形BFDE是矩形，DFEB40，BFDE20，CFBCBF30（n mile）.在RtCDF中，CD DF2+CF2 50(n mile).答：小岛C、D之间的距离为50n mi
5、le.,二、考情分析与预测近三年中考数学题中均设有一道8分的解直角三角形应用题，其中2018年较接近学生的生活，考查仰角、俯角在解直角三角形中的应用；2019年、2017年考查的是渔船在航海时的方位角问题.都需要学生自己去构造直角三角形，有一定的难度.预计2020年中考仍有与近三年的中考题类似的解直角三角形的应用问题，读懂题目、数形结合、正确运用锐角三角函数知识是解决此类问题的关键，同学们应克服畏难情绪，主动接受挑战，努力从题干中提取有用信息，尽量从这类题目中得分.,考法示例,仰角、俯角,示例1 小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国-南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端
6、D处的仰角为42，测得隧道底端B处的俯角为30(B、C、D在同一条直线上)，AB=10 m，隧道高6.5 m(即BC=6.5 m)，求标语牌CD的长(结果保留一位小数).(参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90， 3 1.73),分析如图，作AEBD于E.分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可.解答解：如图，作AEBD交BD于E.在RtAEB中，EAB=30，AB=10 ，BE= 1 2 AB=5m，AE=5 3 m.,在RtADE中，DE=AEtan427.79(m)，BD=DE+BE=12.79(m)，CD=BD-BC=12.79-6
7、.56.3(m).答：标语牌CD的长为6.3 m.点评本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题.,1.(2019广安)如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角HFE为45，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角GED为60，点A、B、C三点在同一水平线上.(1)求古树BH的高；(2)求教学楼CG的高.(参考数据： 2 1.4， 3 1.7),解：(1)在RtEFH中，HEF90，HFE45，HEEF10，BHBE+HE1.5+10
8、11.5(米).答：古树BH的高为11.5米.,(2)在RtEDG中，GED60，DGDEtan60 3 DE.设DEx米，则DG 3 x米.在RtGFD中，GDF90，GFD45，GDDFEF+DE， 3 x10+x，解得x5 3 +5.CGDG+DC 3 x+1.53(5 3 +5)+1.516.5+5 3 25(米).答：教学楼CG的高约为25米.,2.(2019达州)渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今.一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖
9、与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60，CB5m，CD2.7m.景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m.于是，他们很快就算出了AB的长.你也算算？(结果精确到0.1m.参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84， 2 1.41， 3 1.73),解：作BFCE于F.在RtBFC中，BFBCsinBCF3.20，CFBCcosBCF3.85.BHBFHF0.20.在RtADE中，DE AE tanADE 3 3 3 1.73，AHEFCD+DECF0.58.由勾股定理
10、，得AB BH2+AH2 0.6(m).答：AB的长约为0.6m.,方向角,示例2 “五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30方向，如图所示.根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处(精确到1米).(备用数据： 2 1.414， 3 1.732),解析根据题意，先用BD表示出CD，进而表示出AD，再根据AD=AB+BD列方程求解.答案解：由题意，得CAD=45，CBD=60，AB=200米.设BD
11、=x米.在RtBCD中，tanCBD= CD BD = 3 ，DC= 3 BD= 3 x.在RtACD中，tanCAD= CD AD =1，AD=DC= 3 x.,AD=AB+BD， 3 x=200+x，解得x=100( 3 +1)273(米).答：小明还需沿绿道继续直走273米才能到达桥头D处.点评本题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用直角三角形中的边、角关系表示出AD= 3 BD是解题的关键.,3.(2019广元)如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏
12、西30方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60方向.(以下结果保留根号)(1)求B，C两处之间的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.,解：(1)作CEAB于E，则CEA90.由题意，得AB601.590(海里)，CAB45，CBN30，DBN60，ACE是等腰直角三角形，CBE60.CEAE，BCE30，CE 3 BE，BC2BE.,设BEx，则CE 3 x，AEBE+ABx+90， 3 xx+90，解得x45 3 +45.BC2x2(45 3 +45)=90 3 +90(海里).答：B，C
13、两处之间的距离为(90 3 +90)海里.,(2)作DFAB于F，则DFCE 3 x（135+45 3 ）海里，DBF906030，BD2DF（270+90 3 ）海里，海监船追到可疑船只所用的时间为 270+90 3 90 3+ 3 (小时).答：海监船追到可疑船只所用的时间为(3+ 3 )小时.,4.(2019海南)如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里.(1)填空：BAC=_度，C=_度；(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).,30,45,解：(1)304
14、5由题意,得BAC=90-60=30，ABC=90+15=105，C=180-BAC-ABC=45.(2)BPAC，BPA=BPC=90.C=45，BCP是等腰直角三角形.BP=PC.BAC=30，PA= 3 BP.PA+PC=AC，BP+ 3 BP=10，解得BP=5 3 -5.答：观测站B到AC的距离BP为(5 3 -5)海里.,其他应用,示例3 如图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角HAC为118时，求操作平台C离地面的高度.(结果保留一位小数.参考数据：sin280.47，cos280
15、.88，tan280.53),分析作CEBD交BD于E，AFCE交CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，HAF=90，从而得出CAF=28.在RtACF中利用正弦可求出CF，最后用CF+EF即可得解.解答解：作CEBD交BD于E，AFCE交CE于F，如图2，则四边形AHEF为矩形，EF=AH=3.4m，HAF=90，CAF=CAH-HAF=118-90=28.,在RtACF中， sinCAF= CF AC ，CF=9sin2890.47=4.23(m)，CE=CF+EF=4.23+3.47.6(m).答：操作平台C离地面的高度为7.6m.点评本题考查了解直角三角形
16、的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)，然后利用勾股定理或三角函数的定义进行几何计算.,5.(2019台州)图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图.已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角ABC70，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度(结果保留小数点后一位；参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75).,解：过点A作ADBC于点D，延长AD交地面于点E.sinABD AD AB ，ADABsinABD=920.9486.48（cm）.DE6，AEAD+DE86.48+692.5（cm）.答：把手A离地面的高度约为92.5cm.,
