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1、1,第十四章 超静定结构,材料力学,2,14.1 超静定结构概述14.2 用力法解超静定结构14.3 对称及对称性质的应用14.4 连续梁与三弯矩方程,超静定结构,第十四章 超静定结构,3,用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。,14.1 超静定结构概述,在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的静不定次数。,超静定结构,4,超静定结构,5,第一类,第二类,第三类,超静定结构,6,14.2 用力法解超静定结构,一、力法的基本思路（举例说明）,解： 判定多余约束
2、反力的数目 （一个） 选取并去除多余约束，代 以多余约束反力，列出变形 协调方程，见图(b)。,超静定结构,7,变形协调方程, 用能量法计算 和,由莫尔定理可得(图c、d、e),超静定结构,8, 求多余约束反力,将上述结果代入变形协调方程得, 求其它约束反力,由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(f)。, 作弯矩图，见图(g)。, 求梁中点的挠度,超静定结构,9,选取基本静定系( 见图( b) 作为计算对象。单位载荷如图(h) 。,用莫尔定理可得,注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定端处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图(i)所示的简支梁
3、。,超静定结构,10,二、力法正则方程,上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式,变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。,X1多余未知量；11在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；1P在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；,超静定结构,11,对于有无数多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：,由位移互等定理知：,ij：影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的 在Xi作用点沿Xi方向的位移；iP：自由项，表示在基本静定系上， 由原载荷引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移。,超静定结构,12,例2 试求图示刚架的
4、全部约束反力，刚架EI为常数。,q,a,A,B,a,解： 刚架有两个多余约束。, 选取并去除多余约束，代以多余约束反力。, 建立力法正则方程,用莫尔定理求得, 计算系数 ij和自由项 iP,超静定结构,13,超静定结构,14, 求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得, 求其它支反力,由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。,超静定结构,15,14.3 对称及对称性质的应用,一、对称结构的对称变形与反对称变形,结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变
5、形。,超静定结构,16,正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形对称截面上，对称内力为零或已知。,例如：,超静定结构,17,例3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。,A,B,C,P,P,a,a,解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。,用莫尔定理求 1P和 11。,超静定结构,18,则,由平衡方程求得：,超静定结构,19,14.4 连续梁与三弯矩方程,为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间
6、安置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。,一、连续梁与超静定次数,超静定结构,20,二、三弯矩方程,连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩M
7、1、M2、Mn-1、Mn、作为多余约束力(见上图)，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其对应的位移是两侧截面的相对转角。,超静定结构,21,如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度ln、ln+1，设n支座上方，铰链两侧的相对转角为 n，则,n-1,n+1,n,ln,ln+1,n-1,n,n+1,n,dwn,dxn,MnP,dwn+1,dxn+1,xn,xn+1,wn,wn+1,an,bn+1,超静定结构,22,1.求 nP：,静定基上只作用外载荷时，跨度ln上弯矩记为MnP，跨度ln+1上弯矩记为M(n+1)P。当只作用单位力偶矩时，跨度ln上和ln+1上弯矩分
8、别记为,则由莫尔定理得,式中：,超静定结构,23,因此,类似地可求出,超静定结构,24,三弯矩方程,对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个三弯矩方程，所以可能列出的方程式的数目恰好等于中间支座的数目，也就是等于静不定的次数。而且每一个方程式中只含有三个多余约束力偶矩，这就使得计算得以一定的简化。,超静定结构,25,例4 试用三弯矩方程作等刚度连续梁AC的弯矩图。见图(a)。,解：AC梁总共有二跨，跨长l1=l2=l 。中间支座编号应取为1，即n=1。由于已知0，2两支座上无弯矩，故,(a),超静定结构,26,由图(c)和(d)图得：,代入三弯矩方程可得,解得,(方向与图(b)所示相反),超静定结构,27,将图(d)中的单位弯矩图乘以,便得到MB在简支梁上产生的M图，再与载荷引起的M图(c)相加，就得到梁AC的弯矩图，见图(e)。,超静定结构,28,一、用力法求图示结构中拉杆BC的轴力。 解： 求得,练 习 题,超静定结构,29,二、试作刚架的弯矩图（轴力的影响不计）。 解: 求多余未知力 求得 作弯矩图 截面A的弯矩为 截面B的弯矩为,超静定结构,30,本章结束,超静定结构,
