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1、第二节 偏 导 数,一, 偏导数的定义及其计算法,1.偏导数的定义及其计算方法 上册学过一元函数导数及其计算.对于多元函数类似建立偏导数及其计算.先给出二元函数偏导数的定义.考虑二元函数z=f(x,y),如固定一个变量假如y.令y=y0当作常数,使x变化,这时函数只是x的一元函数f(x,y0),该函数在x0处的导数称为二元函数z在p0(x0,y0)处对x的偏导数,定义 设函数z=f(x,y)在区域D内有定义,(x0,y0)是D内一点.如果函数(x)=f(x,y0)在点x0处可导,即极限,对y的偏导数同样定义,存在,则称这个极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作,同样定
2、义z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为,这个偏导数也可以记作,若函数z=f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么对于D内的每一点(x,y)都有一个fx(x,y)与它对应,这样在D内就定义了一个新的函数,这函数称为z=f(x,y)对x的偏导数,记作,同样,函数z=f(x,y)对y的偏导数记作,由定义可知,偏导函数也称为偏导数.显然,f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数fx (x0,y0)等于偏导函数fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值.2.偏导数的计算 由定义知,z=f(x,y)对某一自变量的偏导数,是把另一自变量看作常量时的导数.因此,求偏
3、导数在方法上和一元函数求导完全相同.求,时,只要把y看作常量而对x求导;求,时,只要把x看作常量而对y求导.偏导数的定义及求法可以推广到三元及三元以上的函数.,求f(x,y)在某一点(x0,y0)处的偏导数有两种方法.(1)求极限.,例1 求z=,在(1,2),(1,0)处对x及y的偏导数.,(2)借助一元函数求导运算,同理可得到,不同点的偏导数不同,称为偏导函数,例2 设,对幂指函数的求导(或求偏导数)可用下述方法:幂指数对某一变量的导数(或偏导数)由两部分组成,一部分是把该函数看成指数函数而求得的导数,一部分是把导数看成幂函数而求得的导数.,例3 已知,求:fx(0,0), fy(0,0)
4、,分析:本题的解法有二种:(1)利用定义求,(2)利用一般的求导公式计算.,例4,例5 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数),求证,3. 偏导数的几何意义,设M0(x0,y0,f(x0,y0)为曲面z=f(x,y)上一点,z=f(x,y0)是过M0的平面y=y0与曲面z=f(x,y)的交线,它是x的一元函数, 从而偏导数fx(x0,y0)=,所以偏导数fx(x0,y0)在几何上表示曲线,在点M0(x0,y0,f(x0,y0)处的切线M0Tx对x轴的斜率.同理, fy (x0,y0)是曲线,在点M0(x0,y0,f(x0,y0)处的切线M0Ty对y轴的斜率,4.偏导数存在与函数连续的关系
5、 对于一元函数y=f(x)来说,在,处可导表示函数在该点连,续.但对于多元函 数 来说,偏导数的存在并不保证多元函数连续.,这是因为连续是一个全面性的概念,它要求p沿任何方式趋近,时都要保证它的极限存在.而偏导数的存在表示它沿某,一个方向(例如x方向)的极限存在并等于它的函数值,它不能保证沿所有方向的极限存在和等于函数值.自然如果函数在某点连续,也不能保证偏导数的存在.,例如,函数,处处都有偏导数,但它在点(0,0)是不连续的.在下一讲里我们可知道若偏导数存在并连续,则多元函数一定连续.,一般对分段定义的函数,在连续处要用定义来求偏导数.在上例中若x,y不同时为零求偏导数,就可直接来求,即,如
6、果合并可写成,fx=,fy=,二. 高阶偏导数,1. 高阶偏导数及计算,设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数,这两个偏导数在D上仍然是x,y的函数.如果它们的偏导数也存在,就称它们的偏导数是函数z=f(x,y)的二阶偏导数,分别用下面记号表示:,其中,叫做二阶混合偏导数.同样,若上述四个,和,二阶偏导数的偏导数也存在,可以定义三阶偏导数,依次类推,可以定义三阶以上的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.而一阶偏导数就叫做偏导数.,例5 验证函数,满足方程,证明: 因为,例6 设,证明函数u=1/r,满足方程,证明,可以看出,二阶的混合偏导数相等.一般二阶混合偏导数在什么情况下相
7、等呢?下面我们研究,例7 设z=2x3 y2-4x2y3-xy2+3 求,2.混合偏导数的求导次序定理 如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数,上述定理可推广到更高阶的及更多元的情况.例如在连续条件下有 fxyxy=fxxyy=fxyyx=fyyxx=fyxyx=fyxxy 上式表示,只要对x求导两次,对y求导两次,不论求导次序如何,结果是一样的. 注意(1)若不假设二阶偏导数fxy和fyx的连续,定理中的结果就不一定成立.例如函数,在,区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等. (证明从略),此函数所有二阶偏导数都存在,但在(0,0)处不连续.由偏导数定义知,(2).今后若不注明,我们认为混合偏导数是连续的,从而与求导次序无关,即这样的偏导数相等.,
