《2019教育§12.2 离散型随机变量及其分布列、均值和方差ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019教育§12.2 离散型随机变量及其分布列、均值和方差ppt课件.ppt（78页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、A组统一命题课标卷题组考点一均值与方差1.(2017课标全国,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.,五年高考,答案1.96,解析本题主要考查二项分布.由题意可知XB(100,0.02),由二项分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.,2.(2018课标全国,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的
2、概率都为p(0p1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f (p)=2p(1-p)1
3、8-18p2(1-p)17=2p(1-p)17(1-10p).令f (p)=0,得p=0.1,当p(0,0.1)时, f (p)0;当p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品作检验.,考点二离散型随机变量及其分布列1.(2017课标全国,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定
4、六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?,解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.因此X的分布列为,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此
5、只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大
6、值,最大值为520元.,2.(2016课标全国,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3
7、)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?,解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分)所以X的分布列为,(6分)(
8、2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分),思路分析本题明确以易损零件数的频率代替概率,由柱状图知每台机器三年内需更换配件
9、数及各自的概率,结合相互独立事件同时发生的概率计算公式进行求解即可.,评析本题重点考查相互独立事件的概率、简单随机变量的分布列及期望.求解本题的关键在于认真分析题干中的事件,确定事件间的相互关系,根据分析内容,找到解题的突破口.,考点一均值与方差1.(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量的分布列是,则当p在(0,1)内增大时,()A.D()减小B.D()增大C.D()先减小后增大D.D()先增大后减小,B组自主命题省(区、市)卷题组,答案D本题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性.由题意得E()=0+1+2=+p,D()=+=(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3
10、-2p)2p=-p2+p+=-+.由得0p1,D()在上单调递增,在上单调递减,故选D.,2.(2017浙江,8,5分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),答案A本题考查随机变量的概念及其分布列,随机变量的期望、方差的计算,考查推理运算能力,利用作差比较法比较两式的大小,构造函数,利用函数的单调性比较两式的大小.解法一:E(1)=0(1-p1)+1p1=p1,同理,E(2)=p2,又00,(p1-p2)(1-p1-p2)0.D(1)D(2).故选A.解法二:同解法一知E(1)E(2),D
11、(1)=p1-,D(2)=p2-,令f(x)=x-x2,则f(x)在上为增函数,0p1p2,f(p1)f(p2),即D(1)D(2).故选A.,3.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.,答案,解析因为XB(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.,4.(2014浙江,12,4分)随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=,E()=1,则D()=.,答案,解析设P(=1)=p,则P(=2)=-p,从而由E()=0+1p+2=1,得p=.故D()=(0-1)2+(1-1)2+(
12、2-1)2=.,5.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需,写出结论),解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等
13、知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.所以的分布列为,故的期望E()=0+1+2=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.,方法总结在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程
14、度进行比较.,6.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:,(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.,解析(1)由统计结果可得T的频率分布为,以频率估计概率得T的分布列为,从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间
15、不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T235)+P(T1=40,T230)=0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91.解法二:P()=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故P(A)=1-P()=0.91.,评析(1)用频率估计概率求解;(2)将问题转化为求“刘教授在路途中的时间不
16、超过70分钟”的概率,可直接求解也可间接来求.,7.(2014江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).,解析(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P=.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.X=4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=;X=3表示的随机事件是“取
17、到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)=;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-=.所以随机变量X的概率分布如下表:,因此随机变量X的数学期望E(X)=2+3+4=.,评析本题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.,考点二离散型随机变量及其分布列1.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到
18、1个红灯的概率.,解析本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=1-1-+1-1-+=,P(X=2)=+=,P(X=3)=.所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=+=.所以,这2辆车共遇
19、到1个红灯的概率为.,技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.,2.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受
20、乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.,解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.,X的数学期望是EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1+2+3+4=2.,因此X的分布列为,3.(2015山东,19,12分)若n是一个三位正整
21、数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.,解析(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量X的取值为0,
22、-1,1,因此P(X=0)=,P(X=-1)=,P(X=1)=1-=.所以X的分布列为,则EX=0+(-1)+1=.,评析本题背景新颖,设问常规,运算量不太大,但对思维的严谨性有较高要求.,4.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.,解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)
23、=,P(X=2)=.综上知,X的分布列为,故E(X)=0+1+2=(个).,5.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.,解析(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=.因此
24、,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为,因此,X的数学期望为E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=1+2+3=2.,评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力和解决实际问题的能力.,6.(2014四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音
25、乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.,解析(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=100)=,P(X=-200)=.所以X的分布列为,(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-
26、200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为EX=10+20+100-200=-.这表明,获得的分数X的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.,评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力,考查运算求解能力、应用意识和创新意识.,7.(2014湖北,20,12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内
27、上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:,若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?,解析(1)依题意知,p1=P(40120)=0.1.由二项分布知,在未来
28、4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).(i)安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.(ii)安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)=p2+p3=0.8.由此得Y的
29、分布列如下:,所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.(iii)安装3台发电机的情形.依题意,当40120时,三台发电机运行,此时Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:,所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.,评析本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.,8.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自
30、数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).,随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.,所以随机变量X的分布列是,评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式
31、,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.,9.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).,解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=.(2)X的可能取值为200,300,400.
32、P(X=200)=,P(X=300)=,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-=.故X的分布列为,EX=200+300+400=350.,C组教师专用题组考点一均值与方差1.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1p2,E(1)E(2)C.p1p2,E(1)E(2)D.p1p2,E(1)E(2),答案A当i=1时,若从乙
33、盒中抽取的1个球为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A1,则P(A1)=.若从乙盒中抽取的1个球为蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A2,则P(A2)=,而A1与A2互斥,则p1=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.此时,1的取值为1或2,P(1=1)=,P(1=2)=,则E(1)=1+2=.当i=2时,若从乙盒中抽取的2个球都为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B1,则P(B1)=.若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B2,则P(B2)=.若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B3,则P(B3)=.因为B1
34、,B2,B3互斥,则p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=.则p1-p2=0,即有p1p2.此时,2的取值为1,2,3.P(2=1)=,P,(2=2)=,P(2=3)=,则E(2)=1+2+3=3p2=,则有E(1)p2,E(1)E(2),故选A.,评析本题考查随机事件的概率,组合数的计算,离散型随机变量的概率分布和期望.考查分类讨论思想和运算求解能力,属于难题.,2.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励
35、额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.,解析(1)设顾客所获的奖励额为X元.(i)依题意,得P(X=60)=,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=6
36、0)=,P(X=20)=,即X的分布列为,所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元).(2)根据商场的预算,每位顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所
37、以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为,X1的期望为E(X1)=20+60+100=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为,X2的期望为E(X2)=40+60+80=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2+(60-60)2+(80-60)2=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选
38、择方案2.注:第(2)问,给出方案1或方案2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给3分;进一步比较方差,说明应选择方案2,再给2分.,评析本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想.,3.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被
39、锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.,解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=,所以X的分布列为,所以E(X)=1+2+3=.,评析本题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.,4.(2014湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品
40、B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.,解析记E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功,由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.(1)记H=至少有一种新产品研发成功,则=,于是P()=P()P()=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=,P(X=100)=P
41、(F)=,P(X=120)=P(E)=,P(X=220)=P(EF)=.故所求的分布列为,数学期望为E(X)=0+100+120+220=140.,5.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析(1)由已知,有P(A)=.所以,事件A发生的概率
42、为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+4=.,考点二离散型随机变量及其分布列1.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来
43、球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.,解析(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=.记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0
44、B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=+=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)由题意,随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(=0)=P(A0B0)=,P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=+=,P(=2)=P(A1B1)=,P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=+=,P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=+=,P(=6
45、)=P(A3B3)=.可得随机变量的分布列为:,所以数学期望E=0+1+2+3+4+6=.,2.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.,解析(1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球,A2=从乙箱中摸出的1个球是红球,B1=顾客抽奖1
46、次获一等奖,B2=顾客抽奖1次获二等奖,C=顾客抽奖1次能获奖.由题意,A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为P(A1)=,P(A2)=,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=+=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.,(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以XB.于是P(X=0)=,P
47、(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为,X的数学期望为E(X)=3=.,3.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数),解析(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P=.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,从而E(X)=1+2+3=.,评析
48、本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.,故X的分布列为,考点一均值和方差(2017云南三模,18)某次数学考试试题中共有10道选择题,每道选择题都有4个选项,其中仅有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分.”某考生每道题都给了一个答案,已确定有6道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断出两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜,试求出该考生:(1)得45分的概率;(2)所得分数的数学期望.解析(1)得分为45分,剩下4道必须再答对3道题,在其余的
49、四道题中,有两道题答对的概率为,有一道题答对的概率为,还有一道题答对的概率为,所以得分为45分的概率P=+=.(2)依题意,该考生得分的范围为30,35,40,45,50.得分为30分表示只答对了6道题,其余各题都答错,所以概率P1=;,A组20162018年高考模拟基础题组,三年模拟,得分为35分的概率P2=+=;得分为40分的概率P3=;得分为45分的概率P4=;得分为50分的概率P5=.的分布列为,E()=30+35+40+45+50=.,考点二离散型随机变量及其分布列1.(2018四川成都石室中学4月月考,18)2014年9月,国务院发布了关于深化考试招生制度改革的实施意见,某地作为高
50、考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科,每个考生,英语,语文,数学三科为必考科目,并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考,物理、化学、生物为自然科学科目,政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.(1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率;(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目,两个科目属于自然科学科目,若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75,所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立,用随机变量X表示
