chapter8 含权证券价值分析(加均衡模型和无套利模型)ppt课件.ppt

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1、第七章 利率期权,第一节 基本概念第二节 影响期权价值的因素第三节 期权定价模型Blacks models 第四节 二项式模型第五节 顶、底、互换选择权的定价第六节 利率模型第七节 可转换债券,第一节 基本概念,定义嵌入期权的金融工具期权的盈亏,定义,期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权利。买入期权（Call Option），期权购买者可以按照事先约定的价格购买一定数量证券的权利。卖出期权（Put Option ），期权购买者可以按照事先约定的价格卖出一定数量证券的权利。美式期权（American option）， 在到期前的任何时刻都可以执行的期权。欧式期权（European optio

2、n ），只有在到期时才能执行的期权。,定义,In-the-moneyOut-of-the moneyAt-the-moneyStrike price：exercise price,嵌入期权的金融工具,可回购债券（callable bonds）可回卖债券（puttable bonds）可提前偿还的住房贷款（prepayable mortgages）顶（caps）, 箍（collars）, 底（ floors）期货期权（options on futures） (e.g., Eurodollars and Treasury notes)互换期权（swaptions）,期权的盈亏,profit pro

3、fit Long a call Short a call,期权的盈亏,profit profit Long a put Short a put,第二节 影响期权价值的因素,第三节 期权定价模型 Blacks models,BlackScholes,例 7.1. Black-Scholes 模型的问题,给欧式 call option 定价：3年零息债券，施权价格$110, 面值$100 结论很明显，应该是0.但在下面假设情况下， r = 10% ， 4% 的年价格波动率，用Black-Scholes模型计算出来的价格为7.78!,应用传统 Black-Scholes Model给债券定价的问题,

4、价格波动率：股票与债券,股票 债券 时间,Blacks Model,尽管存在着以上问题，Black-Scholes 的变形，叫做Blacks Model, 也还经常被使用，条件是:a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用Blacks Model,利用Blacks Model给欧式期权定价,利用Blacks Model给欧式期权定价,T = 期权到期日F = 到期日为T，价值为V的远期价格K = 执行价格r = T期的即期收益率 (连续利率) = F的波动率N = 累积正态分布Pc

5、 = value of callPp = value of put,例 7.2: 应用 Blacks Model,给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 的，面值 $1,000, 半年利息 $50 (在3个月后和9个月后得到)?已知今天债券价格 $960 (包括应计利息)执行价格 $1,0003个月的无风险利率为 9% ，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10% (以年为基础，连续利率)债券价格的波动率为年9%,例 7.2: 应用 Blacks Model,求解第一步: 找到远期价格计算期权价格的参数为:F = 939.68, X=1000, r=0.1, =0.0

6、9, T = 10/12=.8333.,例 7.2: 应用 Blacks Model,均衡定价模型,均衡定价模型以零息债券为分析对象，把当期时间定义为0，状态 代表不确定性。0时点的状态是已知的，而未来的状态是未知的。一个零息债券的价格通常是当前时间、偿还期T、当期状态 的函数。一个零息债券在0时点和状态 情形下的价格期限结构，就是随着期限T的增加而改变的 的形状。,均衡定价模型,如果一个证券在1时点上到期，那么在1时点该债券的价格就是确定的，一定为面值，比如是100元。在0时点，在状态 时，该债券的价格为,均衡定价模型,当1时点价格不确定时，如何确定0时点债券的价格呢？在资产定价的均衡模型中

7、，债券被认为是投资者投资组合中的一种资产。标准的分析中，一般的投资者在进行消费和资产选择决策时，是为了获得在0时点在状态i情形下所获得的期望效用 （可分、可加）的总和达到最大。,均衡定价模型,对于任一点t而言，投资者进行决策是要获得在时点t在状态i的情形下期望效用总和达到最大。实现效用最大化的一个必要条件是，投资者在时点t出售边际数额资产而被迫放弃未来消费，致使日后满足程度下，必须与在t时刻消费那么多钱所产生的边际效用相等。假定在时点t投资者出售的资产是偿还期为T的零息债券，出售价格为 ，消费这些价值给投资者带来满足的增加，为 这里， 为效用函数对消费的一阶导数。,而在t+1时刻出售这一债券所

8、带来的边际效用的损失,是t+1时刻不确定收益的期望值 乘以在t+1时刻消费这些收入所带来的边际效用 。如果 是均衡价格，那么期望损失应该等于期望收益，即这里， 为t+1状态i发生的概率这就是著名的Euler方程,如果定义即 是从边际的角度来表示的t时刻状态i情形下消费与t+1时刻不确定状态 消费的平衡，那么有,Euler方程在t时刻与未来任意时刻都要成立，即不仅是在t与t+1期间成立，而且在t时刻与每种零息债券偿还期T期间，该方程也要成立。因此，这里 为零息债券的到期收益率加上1,Euler方程式个人求得一生消费的预期效用达到最大的必要条件。Euler方程忽略了影响投资决策的很多重要因素，这些

9、因素包括：交易成本、破产、融资限制、效用函数的不可加性等。但单期资本资产定价模型、套利定价模型等都源于euler方程，因此债券定价也与上述定价模型相一致。Leroy和breeden专门研究了euler方程对债券定价的问题。,无风险套利定价模型,由于单期无风险收益率 是已知的常数，t时刻债券定价模型可以写成如果不存在套利机会，那么上式可以写成这里， 为有效概率，也成为风险中立（risk neutral）概率。这一式子不难理解，只要将前面的公式变换一下，即其中 是对1年后债券价格的预期，使用的是风险中立概率,这说明，如果投资者是风险中立的，那么1年后，零息债券相对于今天而言的价格上升幅度，刚好为无

10、风险收益率。由于 是非负的，总和为1，因此，没有套利机会，并且存在一个线性定价算子，可以用于评估资产价值。 上述理论问题被解决后，人们可以利用公式来对固定收益证券进行估价，前提是人们都是风险中立者，并且市场上不存在套利机会。,假定只存在一个状态变量影响债券价格变动。这一状态变量就是单期利率。在这种情况下，2年期零息债券价格的不确定性，可以用一个投资组合来表示，其中包括3年期零息债券和按无风险利率借入或借出资金。3年期债券持有额取决于该3年期债券价格的敏感性，而造成债券价格波动的因素仅仅是利率。用3年期债券和1年期债券构造一个2年期债券，是二项式模型估算固定收益证券价值的最精华之处。这与用标的股

11、票和无风险借贷来复制股票期权道理是一样的。,假定现在时刻为0，2年期债券的价格为 ，简化为A；3年期债券的价格为 ，简化为B；无风险毛收益率为R。再假定在1时点，利率进而债券价格会移动到两种状态中的一个，即利率或者上升到 ，或者下降到 。2年期和3年期债券价格则分别下降到 和 ，或者分别上升到 和 。3年期债券价格变化区间为 ，2年期债券价格变化区间为,用树图来表示单期利率、2年期利率、3年期利率债券价格的变化如图,对于2年期债券A来讲，在1时点就变成了1年期债券，因此在时点2为到期面值。而对于3年期债券B来讲，价格在1时点和2时点都是不确定的，价格上升与下降完全依赖于当时的利率变化。在2时点

12、，3年期债券变成了1年期债券，而1年期债券在期末价值是确定的。在二项式模型中，利率变化以 及债券价格变化都被假定为路径独立的，即对于3年期债券B而言，在2时点的价格与利率先涨后跌或者先跌后涨没有关系。路径独立意味着，债券价格波动性与价格水平无关。,只要影响各期零息债券价格变化的因素就是利率一个，那么在1时点上2年期债券A的价值可以被一个组合复制出来，该组合包含了在0时点购买3年期债券B并按无风险利率借入资金。假设购买3年期债券的数量为 ，借入资金的数量为C，那么有解此方程得,既然该组合与2年期债券有相同的现金流量，因此在0时点，2年期债券A的价值要等于投资组合的价值，即在未来任意时点，债券价格

13、都是按无套利条件来确定的。为此，引入利率变化进而债券价格变化的概率。令 是利率下降的实际概率，因此 也是债券价格上升得实际概率，因此有,无套利条件为得整理得无套利时因此,上式有非常直观而且重要的经济含义：所有债券单位风险溢价（risk premium）风险价格都相等。风险用债券价格的波动幅度来表示，溢价用期望收益与无风险收益之差来表示。这说明，一个债券单位风险价格可以独立于其偿还期，尽管该风险价格随着利率水平R与时间点的变化而变化。,将前面的公式稍加变化，有令 ，有其中 为风险中性的概率公式 *为风险中立情形下债券价值的评估等式。,如果 ，那么 ，即风险中立概率与债券价格波动的实际概率相等。如

14、果 ，那么长期债券的持有收益率会高于1年期债券的无风险收益率。 可以表示为持有长期债券而产生的流动性贴水。,为了说明利用二项式方法评估债券价值，假定1年期利率的未来状态如图,1.06,1.08,1.04,1.10,1.06,1.02,2年期债券价格变化如下图所示,A:88.36,Ad：92.59,Au：96.15,100,100,100,3年期债券价格变化如下图所示,B:82.19,Bd：85.13,Bu：91.78,Bdd：90.91,Bud：94.34,Buu：98.04,100,100,100,100,2年期债券和3年期债券价值是这样计算的。设定风险中性概率为0.3。给定了风险中性概率，

15、那么A、B两个债券的价格就比较容易计算。具体为：其中 、 则是根据1时点的短期利率1.04和1.08两种可能，而债券在时点2肯定可以获得100元而计算出来的，分别为100/1.04和100/1.08。,债券B是这样计算的：,在同样利率环境下，期限长的债券价格波动要更大一些。例如，B债券从0时点的82.19或者上升到91.78，升幅为11.67%；或者上升到85.13，升幅为3.6%；波动幅度为8.07%（升幅之差）。而债券A的价格从88.37，或者上升到96.15，升幅为8.8%；或者上升到92.59，升幅为4.78%；波动幅度为4.02%。长期债券的价格波动幅度要比短期债券来得大。,总而言之

16、，人们可以构建风险中立情况下债券的定价方法，而且一旦风险中立概率值、利率上升与下降幅度、债券到期价值等给定，那么这种风险中性的定价方法就再简单不过了。但问题是，利率上升和风险中立的概率是怎样得来的？关于风险中立概率可以这样获得。当得到关于利率上升与下降幅度之后，可以根据2年期债券A的价格，倒算出风险中立概率。例如本例中，A证券的价格为88.37，利率波动幅度为2%。从0时点的6%，到1时点可能上升到8%，也可能下降到4%；而在时点2，A的价格是确定的，总是100元。因此有：,得也就是风险中立情况下，利率下降的概率为30%A的价格应该由市场来决定，具体而言，有其到期收益率来决定，即如果2年期零息

17、债券的到期收益率为6.377%，那么A 的价格刚好为88.37，那么可以得到 。如果A的到期收益率不是6.377%，那么A的价格也不是88.37。如果这样，通过二项式估计的价格与市场价格不符，那么必须修正二项式模型中关于利率变化的预测，这一预测结果必须与在0时点全部证券的市场价格相一致。由于存在局部期望假设，即不存在着期限贴水，那么就意味着从1时点到2时点的远期利率的期望值为6.755%，即,用 来计算1时点的远期利率的期望为这说明，用到期收益率来计算的远期利率低于用风险中立概率来计算的远期利率。原因是，债券价格具有凸性特征。由于具有上述特征，通常不能用 值来计算利率期望水平，因此，也不能据此

18、计算债券的价值。 不是一个自由的参数，即它的取值不是任意的。前面的式子中，即,债券价格是已知的，或者通过A的到期收益率来计算的，0时点的短期利率也是已知的，因此只要利率上升与下降幅度确定，就可以确定 值。如果选择不同的 值，那么只能要求利率上升与下降的幅度发生变化。而在利率上升与下降的幅度真的发生变化后， 值也就随之发生变化。风险中性情形下的债券的定价方法，并不是为了评估一般债券的价值，而是为了评估那些具有选择权的证券的价值。,第四节 二项式模型,可回购债券的价值 =不可回购债券价值 -Call Option 的价值可回卖债券的价值 =不可回卖债券价值 + Put Option的价值回购债券定

19、价策略:利用利率模型给不可回购债券定价利用利率模型给嵌入的call option定价.,第四节 二项式模型,利用已知的二项式模型定价附息债券基于附息债券的欧式期权基于附息债券的美式期权,例7.3,有如下的二项式树图，该树图可以用来给无风险债券以及债券期权定价（利率上升下降的概率都是50%。,r0=3.5%,ru=4.976%,rd=4.074%,ruu=6.757%,rud=5.532%,rdd=4.530%,例7.3,Price option-free bonds . 例如 票面利率5.25%（年支付），期限3年的债券,V=102.075C=0r0=3.5%,V=99.461C=5.25rU

20、=4.976%,V=101.333C=5.25rd=4.074%,V=98.588C=5.25ruu=6.757%,V=99.732C=5.25rud=5.532%,V=100.689C=5.25rdd=4.53%,V=100C=5.25,V=100C=5.25,V=100C=5.25,V=100C=5.25,例7.3,Pricing a European Call Option: 假定票面利率 5.25%的债券是可回购的，回购日为2年末，回购价格为 $99.50. Vcall=0.383, Vbond=101.692,Vcall=0.383r0=3.5%,Vcall=0.11ru=4.976

21、%,Vcall=0.683rd=4.074%,Vcall=0ruu=6.757%,Vcall=0.232rud=5.532%,Vcall=1.189rdd=4.53%,例7.3,Pricing a American Call Option: 在1年后和2年后都可以回购，价格都是 $99.50. Vcall=0.938, Vbond=101.137,Vcall=0.938r0=3.5%,Vcall=max(0.11, 0)ru=4.976%,Vcall=max(0.683, 1.833) rd=4.074%,Vcall=0ruu=6.757%,Vcall=0.232rud=5.532%,Vcal

22、l=1.189rdd=4.53%,第五节 顶、底、互换选择权的定价,顶与底互换选择权,顶与底,利率的顶是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最高利率水平。利率的底是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最低利率水平。顶和底可以：脱离贷款本身，可以通过单独交易来获得。与证券相连，其价格体现在了证券的利率当中。,顶与底,一个顶可以被理解为关于浮动利率R的一串call options。一个底可以被理解为关于浮动利率R的一串put options。顶和底被分离出来的部分被称为“caplets”, “floorlets”顶的盈亏 = 本金 期限 maxRt - Rk, 0Rt = t 期的利率

23、Rk = cap rate注意是你购买了顶，给你带来了利益，它未必实际支付的利率！,例 7.4: 给Cap定价,Cap rate 5.2%, 名义数量:$10,000,000, 支付频率:年利率变化,r0=3.5%,ru=5.4289%,rd=4.4448%,ruu=7.0053%,rud=5.7354%,rdd=4.6958%,ruuu=9.1987%,ruud=7.5312%,rudd=6.1660%,rddd=5.0483%,例 7.4: Value of the year 1 caplet,22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%)11,058=0.5(22,890

24、+0)/1.035,11,058r0=3.5%,22,890ru=5.4289%,0rd=4.4448%,例 7.4: Value of the year 2 caplet,66,009r0=3.5%,111,008ru=5.4289%,0rdd=4.6958%,53,540rud=5.7354%,180,530ruu=7.0053%,25,631rd=4.4448%,例 7.4: Value of the year 3 caplet,150,214r0=3.5%,214,217ru=5.4289%,96,726rd=4.4448%,295,775ruu=7.0053%,155,918rud=

25、5.7354%,46,134rdd=4.6958%,399,870ruuu=9.1987%,233,120ruud=7.5312%,96,600rudd=6.1660%,0rddd=5.0483%,例 7.4:Value of Cap,Value of cap = value of caplet 1+ value of caplet 2 + value of caplet =11,058+66,009+150,214=227,281,例 7.5: 给 Floor定价,Floor rate 4.8%, 名义金额:$10,000,000, 支付频率:年利率变化如下,r0=3.5%,ru=5.428

26、9%,rd=4.4448%,ruu=7.0053%,rud=5.7354%,rdd=4.6958%,ruuu=9.1987%,ruud=7.5312%,rudd=6.1660%,rddd=5.0483%,例 7.5: Value of the year 1 floorlet,35,520=10,000,000(4.8%-4.4448%)17,159=0.5(35,520+0)/1.035,17,159r0=3.5%,0ru=5.4289%,35,520rd=4.4448%,例 7.5: Value of the year 2 floorlet,2,410r0=3.5%,0ru=5.4289%,

27、10,420rdd=4.6958%,0rud=5.7354%,0ruu=7.0053%,4,988rd=4.4448%,例 7.5: Value of the year 3 floorlet,0r0=3.5%,0ru=5.4289%,0rd=4.4448%,0ruu=7.0053%,0rud=5.7354%,0rdd=4.6958%,0ruuu=9.1987%,0ruud=7.5312%,0rudd=6.1660%,0rddd=5.0483%,例 7.5:Value of Floor,Value of floor = value of floorlet 1+ value of floorlet

28、 2 + value of floorlet =17,159+2,410+0=19,569,互换选择权（Swaptions）,例 7.6：有下面互换：名义本金 $1000 ，期限3年。固定利率支付方每年支付 10.1% , 他拥有选择权，使他随时可以终结互换。我们的目的是要确定这一互换选择权的价值。假定在 0时点利率为10%。利率上升与下降的概率各为50%。利率路径如下：,例 7.6: Swaptions,r0=10%,ru=11%,rd=9%,ruu=12%,rud=10%,rdd=8%,例7.6: Swaptions,如果理解为本金也相互交换，对于分析该问题，也许更为方便。由于收和付的金额

29、是相等的，这不会影响期权的价值。,例 7.6: Swaptions,在Time 2: 市场利率分别为 12%, 10%, or 8%.如果是12%,固定利率最后支付额的现值=$1101/1.12 = $983.04(YOU)浮动利率最后支付额的现值=$1120/1.12 = $1000.00不执行！因此，期权的价值为 $0.,例 7.6: Swaptions,如果是 10%,固定利率最后支付额的现值=$1101/1.10 = $1000.91(YOU)浮动利率最后支付额的现值=$1100/1.10 = $1000.00执行的价值为 $0.91, 所以，期权的价值为$0.91.,例 7.6: S

30、waptions,如果是 8%,固定利率最后支付额的现值=$1101/1.08 = $1019.44(YOU)浮动利率最后支付额的现值=$1080/1.08 = $1000.00执行的价值为 $19.44, 所以，$19.44.,例 7.6: Swaptions,在 Time 1: 市场利率分别为 11% or 9%.如果是 11%,剩下的固定利率支付额的现值= 101/1.11 + 0.5(1101/1.1 +1101/1.12)/1.11 = $984.66(YOU)浮动利率支付的现值=110/1.11+1000(1+r2)/(1.11)(1+r2) = $1000.不执行 !另外，你仍然

31、有选择权，该选择权也许在下一期带来价值。期权的现值为: .5(0)+.5(.91)/1.11 = $.41,例 7.6: Swaptions,如果是9%,剩下的固定利率支付额的现值=101/1.09 + .5(1101/1.08 +1101/1.1)/1.09 = $1019.35浮动利率支付的现值= 1090/1.09 = $1000.执行的价值为 $19. 35.等待的价值也许超过执行的价值.= .5(19.43) + .5(.91)/1.09 = $9.33.结论: 立即执行! 价值 =$19.35,例 7.6: Swaptions,在Time 0: 利率为 10%,剩下的固定利率支付额

32、的现值=1002.77,1002.77r0=10%,984.66101ru=11%,1019.43101rd=9%,983.04101ruu=12%,1000.91101rud=10%,1019.44101rdd=8%,1101,1101,1101,1101,例7.6: Swaptions,浮动利率支付的现值= 1100/1.1 = $1000.立即执行的价值为 $2.76.但是,也许等待的价值更高. 不执行则期权的价值为: .5(.41)+.5(19.35)/1.1 = $8.98.在 time 0，期权的价值为 $8.98。我们终于找到了它！,第六节 利率模型,杈树模型概述简单加减式模型（

33、Simple Additive Model）简单乘除式模型（Simple Multiplicative Model）波动率（Volatility）从短期利率得到长期利率Ho-Lee ModelSalomon Brother ModelB.D.T ModelVasicek Model,简单杈树模型概述,核心是得到单期利率（短期利率）的演变过程从短期利率可以导出到期收益曲线，通过假定投资者的行为（风险中性）可以得到长期利率选择和确定阶梯的高度（ Step size ）以及概率分布。普通的杈树模型为二项式模型（binomial ）和三项式模型（ trinomial）,简单加减式模型,rt+1 = r

34、t + d or rt - d ，概率相等; 例 7.7 d = .01; r0 = 10%,r0=10%,ru=11%,rd=9%,ruu=12%,rud=10%,rdd=8%,简单乘除式模型,rt+1 = rt(1 + d) or rt/(1+d)，概率相等; 例 7.8; d = .02; r0 = 10%,r0=10%,ru=12%,rd=8.3%,ruu=14.4%,rud=10%,rdd=6.9%,波动率,为利率模型的关键因素，可以用标准差来表示用历史数据估计波动率a) 选择到期收益率的历史数据（每天）b) 计算到期收益率变化的标准差c) 乘以 365 (或 250 )，得到年的波

35、动率,应用到乘除式模型中,例 7.10: 设 r0 = .04, = .164, 假设上升和下降的概率各为50%。d = = .164,r0=4%,ru=4.66%,rd=3.44%,ruu=5.42%,rud=4%,rdd=2.95%,乘除式模型的另一种表达,经常表示为:,从短期利率得到长期利率,例 7.11:求2 期的到期收益率。上升与下降的概率各为50% ( p(up) = p(down) = .5),92.414r0=4%,95.547ru=4.66%,96.674rd=3.44%,100,100,100,Ho-Lee Model,Ho-Lee Model,r0=6%，=0.5%.2年

36、期零息债券的价格为$88.58，则,88.58,100,100,100,Ho-Lee Model,6%,7%,6%,Ho-Lee Model,6%,7%,6%,Ho-Lee Model,3年期零息债券的价格为 82.47，则,82.47,Pd,Pu,Pdd,Pud,Puu,100,100,100,100,Ho-Lee Model,m=0.6%,Ho-Lee Model,6%,7%,6%,6.1%,7.1%,8.1%,Ho-Lee Model,82.47,86.5,88.5,92.51,93.37,94.25,100,100,100,100,Salomon Brother Model,B.D.T

37、 Model,Vasicek Model,r0,r0+step,r0-step,r0+2step,r0,r0-2step,Vasicek Model,Vasicek Model,-利率的均值h- 间隔期-利率波动率-均值复归的力量。see:Nelson and Ramaswamy” Simple Binomial Processes Diffusion Approximation in financial Models” The Review of Financial Studies3.1990.Pages393-430,Vasicek Model,举例：今天时点为0，1年期利率为12%，假定

38、=12%，h=1年，=0.02，=0.6065307,Vasicek Model,Vasicek Model,12%,14%（50%概率）,10%（50%概率）,16%（25%概率）,12%（75%，75%）,8%（25%概率）,第七节 可转换债券分析,特点分析优点分析与发行动机缺点分析价值分解中国可转债发展过程分析可转债要素分析案例分析,特点分析,它是附股票买入期权的债券，兼有公司债券和股票的双重特点它具有多重选择权投资者在是否转换为股票上拥有选择权发行公司在是否实施赎回条款方面也拥有一份选择权在股票价格过低时投资者有回售给发行者的选择权,特征分析,债 券 价 值 可转债价值下限 转换价值

39、可转债价格 全额支付的纯粹债券价值 1 2 公司价值,优点分析,税收优势财务优势资本结构利息融资的便利,发行动机,风险转移股东选择高风险，损害债权人。可转债则将二者利益捆绑在一起。甜心理论，吸引投资者The convertible feature is tacked on to a bond as a sweetener when a straight, non-convertible issue would seem so risky to potential investors that the interest rate that would have to be paid to sel

40、l the bond would be exorbitant. 解决信息不对称连续融资理论发行成本过度投资成本,缺点,资本成本选择权更多地在投资者手里,理论研究进展,单因素的成分定价模型这种模型的基本思路是将可转债视为普通公司债券与股票期权(或认股权证)两种成分的组合体。设普通公司债券为B，转换期权为OP，现金流量为CF，无风险利率为 ，转换价格为K，可转换债券面值为X，信用价差为 ，股价波动率为 ，可转债存续时间为T，使用Black-Scholes方程，可转债价格为：,理论研究进展,理论研究进展,但实际上各种条款的规定，使得这种思路没有了现实意义。因为该模型未考虑到赎回与回售等附加条款对期权

41、价值部分（OP）的影响。更全面的成分定价模型则在纯债券价值和转换期权价值之和的基础上，加入赎回期权价值和回售期权价值，即：可转债价值=普通债券价值 + 转股期权价值（看涨期权） 发行人赎回期权价值（看涨期权）+ 投资者回售期权价值（看跌期权）。,基于公司价值的单因素模型 Ingersoll(1977a,1977b)和Brennan & Schwartz(1977)利用Merton(1974)、Black和Scholes(1973)建立的用于风险债务估值的结构化方法的思想，建立了单因素的公司价值模型。他们假定可转债价值是公司市场价值和时间的函数，并假设公司价值的变化服从几何布朗运动。他们运用Bl

42、ack-Scholes期权定价理论，采用风险对冲和风险中性定价，推导出可转债满足的偏微分方程，再利用无套利原理(ATP)，根据可转债的条款如转换条款、赎回条款等，确定可转债的最优转换和赎回策略，由此确定偏微分方程的边界条件和终值条件，最后利用数值算法计算可转债的价值。但此模型中的不确定性仅来自于公司的市场价值，没有考虑利率的变化对可转债价值的影响，即假定利率的期限结构是水平的。,理论研究进展,理论研究进展,3 基于公司价值和利率的双因素模型由于国外可转债的到期期限一般为7到20年，在这么长的期限内假设利率不变就不合理了。为了使可转债定价模型更加接近现实，Brennan 和Schwartz(19

43、80)将利率的波动影响加入可转债定价模型中，并使用了Vasicek利率模型。他们认为可转债的价值受公司价值和市场利率波动两个因素的影响而提出了双因素模型，并推导出了可转债价格所满足的偏微分方程。在投资者行使最优转换策略、公司行使最优赎回策略、债券到期以及公司破产情况下给出方程的边界条件，最后利用数值方法有限差分法给出了方程的解。但该模型只考虑了转换条款与赎回条款，并未考虑回售条款，且在他们的模型中息票的支付数额是固定的。不过他们的研究结果显示，随机的利率因子对转债价值几乎没有影响。,理论研究进展,Carayannopoulos（1996）也以相同的思路推导了一个模型。在假定资本市场是完全的，无

44、税收、无交易成本以及信息完全的，公司价值仅由普通股票和可转债组成而没有普通公司债券；可转债是可赎回的、在赎回期内达到可赎回条件，则可转债持有者必须卖出可转债。其模型类似于Brennan和Schwartz (1980)模型，唯一不同之处在于利率模型的选用上。前者使用的是 Vasicek利率模型，假定在未来时刻的短期利率是正态分布的，有可能会产生负值；而Carayannopoulos（1996）使用的是Cox, Ingersoll, Ross(1985)模型，这个模型依然保持了利率均值自返的特点，并且利率不可能为负，其参数估计也较容易。,理论研究进展,4 基于股票价值和利率的双因素模型McConn

45、ell,Schwartz(1986)首先以公司股票为基础变量，提出了一个零息债券、可转换、可赎回、可回售的单因素可转债定价模型。该模型假定在风险中性世界中，发行公司的股票价格遵循几何布朗运动，在Black-Scholes期权定价理论框架中推导出可转债价值所满足的偏微分方程，并通过确定方程的边界条件求出可转债的理论价值。目前大多数可转债定价的设计均以此模型为基础，但是该模型没有考虑发行公司信用风险对可转债价值的影响。Ho & Pfeffer（1996）提出了基于股价运动的可转债定价双因素模型，其中利率波动模型采用Ho &Lee (1986) 模型。在他们的模型中，可转债的价值（CB）被分解为投资

46、价值(Investment Value，I)、认股权证价值(Latent Warrant，W)和强制转换条款价值(Forced Conversion Value，C )。该模型认为：CB=I +W C。该模型使用二元二叉树模型来计算可转债的价格，对所有的现金流使用风险利率进行贴现。但是Ho 和 Pfeffer没有考虑到可转债的所有条款是作为一个整体而存在于可转债的价值中的。,理论研究进展,5 信用风险模型Goldman Sachs (1994)提出了较完善的可转债定价模型。利用股价运动的二叉树模型来计算可转债的理论价值；同时假设利率、信用风险、以及股票波动率都是己知且不变的；可转债的价值变动只

47、来源于公司股价的不确定性；在对未来现金流进行贴现时，考虑到可转债的信用风险，采用经过信用风险调整的贴现率。为了将违约风险考虑进模型，模型考虑了两种极端的情况：当下一个节点上的股价远远高于转换价格的时候，可以使用无风险利率对这部分现金流进行贴现。当下一个节点上的股价远远低于转换价格的时候，投资者持有的是具有风险性的公司普通债券，所以贴现率要在无风险利率的基础上加上公司的信用风险利差（credit spread）。此模型也有不少缺点。对股价的运动服从对数正态分布的假设，并没有考虑将公司违约风险的补偿率加入到股价的波动率之中；没有考虑利率水平的波动，对无风险利率和信用风险利差不变的假设也不符合现实情

48、况。针对这几种缺陷，又发展出以下几种改进模型。,理论研究进展,Tsiveriotis 和 Fernandes(1998)应用Goldman Sachs(1994)的方法，并提出了新的观点。他们认为，利率的随机波动对可转债价值的影响较小，可以将其忽略。可转债可以看作只是标的股票的衍生品，所以他们的模型也是一种单因素模型。但该模型与前人的不同之处在于，不再将可转债视为普通债券和看涨期权的组合，而是将可转债的价值分解为现金部分(a cash account)和股权部分(an equity account)。现金部分是遭受违约风险的纯现金流；股权部分则是没有违约风险的股权价值；并且这两部分遭受到不同的

49、违约风险。股权部分由于发行者一直能够发行或交易自己的股票，它的违约风险为零，于是贴现率为无风险利率；现金部分（即债券部分）由于票息支付、本金偿还取决于发行者能够利用的现金数量，从而导致了信用风险，因此贴现率为风险贴现率。再根据Black-Scholes期权定价理论推导出可转债价值和可转债现金部分（即债券部分）的价值。,理论研究进展,Davis 和 Lischka(2002)提出了更为复杂的模型。他们认为可转债的价格波动取决于三个因素，利率、股价和违约风险。对于这三个因素的运动模型，利率随机波动模型使用Hull & White(1996)利率模型，从而不仅可以根据初始利率期限结构进行校准，而且具

50、有均值自返的特征，较好地模拟了利率的运动。文章中提出了三个复杂程度不同的模型：第一个模型是单因素模型，股价的波动是随机的，但违约风险是确定性的；第二个模型是双因素模型，认为违约风险是确定型的，而利率（服从Hull & White的随机利率模型）和股价（违约风险加入到股价的漂移率中）是随机波动的；第三个模型被称为两个半因素模型，认为利率、股价和违约风险均是随机波动的，但是违约风险服从与股票价格过程负相关的几何布朗运动，也即违约风险和股价的波动源是相同的，所以称此模型为两个半因素模型。,中国可转债发展过程分析,1992年，我国深圳宝安集团发行了我国第一只可转换公司债券1993年11月中纺机B股在境