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1、第七节,一般周期函数 的傅里叶级数,第十一章,傅里叶级数,一、周期为2l 的函数展开成,二、定义在-l, l 和0, l 区间上 的函数展开成傅里叶级数,一、周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数,思路：,展开,定理11.16,(展开定理),结论,(连续点处),若以2l 为周期的周期函数 f (x) 在(-l , l ) 上为奇函数，则,其中,(2) 若以2l 为周期的周期函数 f (x) 在(-l , l ) 上为偶函数，则,(连续点处),其中,注,傅里叶级数总,收敛于,(在 f (x) 的间断点 x 处),例1-1 将,的傅立叶级数, 并求级数,(91 考研),解,f(x)为偶函数,因
2、 f (x) 偶延拓后在,展成周期为2,的和.,故,故,注,解,例2,傅里叶级数之和函数：,3 所求函数的傅里叶展开式为：,思想,二、定义在 -l , l 和 0, l 区间上的函数,周期延拓,傅里叶展开,展成傅里叶级数,1. 将l , l 上的函数展成傅里叶级数,其中傅里叶系数,例3,解,(周期延拓,傅里叶展开,限制),注,2. 将0,l 上的函数展成正弦级数与余弦级数,f (x)展成正弦级数,奇延拓,偶延拓,周期延拓,F (x),限制,(余),(展开),例4 将函数,分别展成,正弦级数与余弦级数 .,解,将 f (x) 作奇延拓及周期延拓.,(1)展成正弦级数.,注,在端点 x = 0, , 级数的和为0 .,故,（与f (x) = x + 1 的对应值不同）,(2)展成余弦级数.,将,作偶周期延拓.,注 令 x = 0 可得,即,为正弦 级数),内容小结,1. f(x)(周期:2l )的傅里叶展开式,(x :连续点),其中,( f (x)为奇 函数时,(偶),(余弦),2. -l, l或0, l上函数的傅里叶展开,延拓,展开,限制,几点注记,1. 注意画图形.,(便于发现奇偶性及间断点,写收敛域),2. 计算傅里叶系数时, a0 要单独算;,3. 0 , l 上函数的傅里叶展式不唯一.,( 延拓方式不同级数也不同),关于函数的傅里叶级数展开,
