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1、高中数学同步辅导课程,不等式的证明（6）-构造法,教学目的：,教学重点：,教学难点：,函数构造法.,几何构造法.,重点掌握函数 的单调性,三角 函数的有界性等.,通过数形结合,培养学生思维能力,提高逻辑推理能力.逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式 .,作差比较法的步骤：作差变形（化简）定号（差值 的符号）,一、复习引入,作商比较法的步骤：,作商变形（化简）判断 （商值与实数1的大小关系）得出结论,1.比较法,依据题设的条件与常见的基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的不等式，这种证明方法叫做综合法.,2.综合法：,一、复习引入,由因导果，即由已知条件出发，利用
2、已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 .,综合法的思维特点是：,证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 .,3.分析法：,用分析法证明不等式的逻辑关系是：,一、复习引入,分析法的思维特点是：执果索因,分析法的书写格式：,要证明命题B为真， 只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真.,一、复习引入,4.换元法：引进一个或几个新变量代替原式中某些变量
3、，使得原式化为简单明了的式子进行论证或求值的方法叫做换元法.,三角代换法，如：,若x2+y2=1,可令x=cos，y=sin,若x2+y2R2，可令x=rcos,y=rsin（rR）,当-1x1时，可令x=cos，0,代数换元：整体换元、均值换元、设差换元等方法,一、复习引入,放缩常用的技巧：,（1）拿掉（或加进去）一些项，以期达到目的,（2）在分式中放大或缩小分子或分母,（3）可利用基本不等式进行放缩,放缩时一定要适度，放缩过大或不足都将达不到预期的目的.因此要控制放缩的尺度.,5.放缩法：在证明不等式中常将一边（或其中一项）A放大为B（或缩小为B），得到不等式AB（或AB），连续使用不等式
4、链A B M，以达到证明AM的方法，称为放缩法.其中放缩适度是解决问题的关键.,一、复习引入,6.反证法的一般步骤：,反设结论,找出矛盾,肯定结论,在直接证明不等式有困难时，可以试用反证法，在用反证法证明不等式时要严格按照步骤进行，尤其反设要正确，推理要严密，防止由于推理错误导致假证.,一、复习引入,二、新授内容,7.构造法：,; 构造图形法,构造方程法:对于形如af(x)b的不等式，令y=f(x),把它整理成关于x的二次方程，利用方程有实数解的条件0，建立关于y的不等式，求解出y的范围，达到证明不等式的目的.,根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法
5、.,构造函数法,几何构造法(构造图形法):将不等式中的项赋予一定的几何意义,然后根据几何关系达到证明不等式的目的., 函数 在 0 x1, x1时的单调性.,函数 ,(a0)在 时的单调性.,二、新授内容,8.对勾函数：,例1 求函数 的最小值.,分析：请思考下面解法对否？,函数的最小值是2.,上面的解 法是错误的,此时“=”不能达到，因为当,故取等号时的 x 值不存在.,三、例题讲解,根据函数 当t2是增区间,例1 求函数 的最小值., ymin=,三、例题讲解,（构造函数法）,例2 求证：,解：设,o,利用函数图象可得 y-1,思考： 如何求证：,三、例题讲解,（构造函数法）,例3 已知实
6、数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2 .,证明：（构造方程法）,由题设显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a 0，,则,b + c = -a 且bc = 2/a，,即b, c是二次方程,的两个实根,a 2,a, b, c中至少有一个不小于2 .,三、例题讲解,（此法也称判别式法）,三、例题讲解,例4 已知0 a 1，0 b 1，求证：,证明：（构造图形法）构造单位正方形，O是正方形内一点O到AD, AB的距离为a, b，,则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|AC| + |BD|,其中,1.当xR+ 时,下
7、列函数中最小值是2的为,(A)y=x22x+4 (B),(C),(D),（ ）,D,解：设 t=sinx 则,（0t1),在0t,是减区间,当t=1 时, ymin=3.,四、练习,3.若 ab1, 则,4. 求证：,证明：设,=,2x+3 (x1)1 (12),由图像知,ymin=1,四、练习,5. 求证：,证明：设,则（1y)x2+x+1y=0,当 y=1 时， x=0 ,当 y1时，xR =14（1y) 2 0 4y28y+30 ,由得,点评：求证分式不等式，若分子分母的变量指数 最高为二次时，宜用二次函数“”法。 当 x2项系数不定时必须讨论系数是0与不是0两种情况。,四、练习,6若x
8、, y, z 0，则,证明:（构造图形法）作AOB = BOC = COA = 120, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z,则由余弦定理,因为|AC+|BC|CA|，所以,四、练习,用函数 可求两个正数的最小值.但必须判断 自变量所在的区间的增减性.通过函数图象，可直接求证含绝对值及难以推理的不等式.,五、小结,构造函数法:根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法.,构造方程法:对于形如af(x)b的不等式，令y=f(x),把它整理成关于x的二次方程，利用方程有实数解的条件0，建立关于y的不等式，求解出y的范围，达到证明不等式的目的.,五、小结,几何构造法(构造图形法):将不等式中的项赋予一定的几何意义,然后根据几何关系达到证明不等式的目的.,本节课到此结束，请同学们课后再做好复习。谢谢！,
