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1、二次函数复习课,二次函数的定义,小练： y=-x，y=2x-2/x，y=100-5x，y=3x-2x+5,其中是二次函数的有_个。,一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)，那么，y叫做x的二次函数。,(1)a0；(2)最高次数为2； (3)代数式一定是整式.,2,定义要点：,1.函数 （其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时， （1）它是二次函数； （2）它是一次函数；（3）它是正比例函数；,当 时，是二次函数；,当 时，是一次函数；,当 时，是正比例函数.,考考你,2.函数 当m取何值时，,（1）它是二次函数？（2）它是反比例函数？,（1）若是二次函数，则
2、 且当 时，是二次函数。,（2）若是反比例函数，则 且当 时，是反比例函数。,3.当m=_时,函数y=(m-1)x - 2x+1 是二次函数？,考考你,例 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称轴是_。,画二次函数的大致图象:画对称轴确定顶点确定与y轴的交点确定与x轴的交点确定与y轴交点关于对称轴对称的点连线,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),怎样画二次函数的图象,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),增减性:,当 时,y随x的增大而减小当 时,y随x的增大而增大,最值:,当 时,y有最 值,是,小,函数值y的正负性:,当 时,y0当 时,y=0当
3、时,y0,x3,x=-2或x=3,-2x3,例 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称轴是_。,数形结合研究图象性质,二次函数的图象及性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,a0,开口向上,a0,开口向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,(0,c),(0,c),1、抛物线 的对称轴及顶点坐标分别是（ ）A、y轴，（，-4） B、
4、x，（，）C、x轴，（，）D、y轴，（，）,2、二次函数 图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2）， x1 B、（1，2)，x1C、（-1，-2），x-1 D、（-1，2），x-1,D,A,考考你,例1 函数 的开口方向_，顶点是_,对称轴是_, 当x 时, y随x的增大而减小。当x 时, y有最为 .,向上,小,数形结合研究图象性质,巩固练习,x=-2,(-2，-1),0,（0，0）（2，0）,x1,2,6.抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -27.抛物线y=3x2-1的_ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最
5、低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点8.若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是_ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -39.若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_ A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2,c,B,C,A,例2 已知抛物线 yx-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则m_；(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_； (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_;(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_.,= 1,1,= 2,
6、= 0,数形结合研究图象性质,例3 不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远为正的条件是_,a0, b-4ac0,例4 已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成
7、一般式即可.,小结:一般地,抛物线 y = ax2与y = a(x-h)2+k形状相同, 位置不同。,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,b2 4ac,0,二次函数与一元二次方程的关系,1.不与x轴相交的抛物线是( )A y=2x2 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 3x D y=-2(x+1)2 - 3,2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是( )A 无交点 B 只有一
8、个交点 C 有两个交点 D不能确定,D,C,考考你,3.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有_个交点.,1,1,4.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是_.,（-2、0）（5/3、0）,2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),或者已知方程ax2+bx+c=0的两根为x1, x2,则通常设解析式为_,1、已知抛物线上的任意三点，通常设解析式为_,y=ax2
9、+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),求抛物线解析式的三种方法,一般式： y=ax2+bx+c,解：,设所求的二次函数为y=ax2+bx+c,由条件得：,a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7,解方程得：,因此：所求二次函数是：,a=2, b=-3, c=5,y=2x2-3x+5,例1 已知一个二次函数的图象过点（1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？,求抛物线解析式的三种方法,解：,设所求的二次函数为y=a(x1)2-3,由条件得：,例2 已知抛物线的顶点为（1，3），与轴交点为（0，5）求抛物线的解析式
10、？,点( 0,-5 )在抛物线上,a-3=-5, 得a=-2,故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3,即：y=2x2-4x5,顶点式：y=a(x-h)2+k,解：,设所求的二次函数为y=a(x1)(x1）,由条件得：,例3 已知抛物线与X轴交于A（1，0）,B（1,0）并经过点M（0,1）,求抛物线的解析式？,点M( 0,1 )在抛物线上,所以：a(0+1)(0-1)=1,得： a=-1,故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1),即：y=x2+1,两根式：y=a(x-x1)(x-x2),1.根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2
11、，3) 三点；,(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；,(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。,巩固练习,2.选择合适的方法，求下列二次函数的解析式。,（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。,（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。,（3）抛物线的最大值为4，方程ax2+bx+c=0的两根为0或2。,课堂小结,求二次函数解析式的一般方法：,已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式,已知图象的顶点坐标、对称轴和最值， 通常选择顶点式,已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2， 通常选择两根式,确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，,
