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1、,二阶线性常系数齐次微分方程,任务要点,1、二阶线性常系数齐次微分方程,2、微分方程的特征方程,3、二阶线性常系数齐次微分方程通解的求解步骤,教学过程,课前准备,求解下列一元二次方程,解答,解答,解答,二阶线性微分方程解的结构定理,如果y1、y2是二阶线性微分方程的两个线性无关的解 那么yC1y1C2y2就是微分方程的通解,方程,为二阶线性常系数微分方程,为二阶线性常系数齐次微分方程,概念学习, q是常数, f(x)称为自由项.,r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.,特征方程及其根,特征方程的求根公式为,将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0,分析 考虑到当y, y
2、, y为同类函数时 有可能使ypyqy 恒等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解,二阶齐次线性方程通解的求法,由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx 就是微分方程的解,(1) 当,时, 方程有两个相异实根,则微分方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,设r1, r2是特征方程的两个根.,(2) 当,时, 特征方程有两相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解为, ( u(x) 待定).,是特征方程的重根,取u=x, 得,因此原方程的通解为,得:,代入原微分方程,(3) 当,时, 方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理, 得原方程
3、线性无关特解:,因此原方程的通解为,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),下页,特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,第一步 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.,求y+py+qy=0的通解的步骤:,下页,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,下页,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1,
4、 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,因此微分方程的通解为yC1exC2e2x,例1 求微分方程yy2y0的通解,解,微分方程的特征方程为,r2r20,特征方程有两个不相等的实根r11 r22,即(r1)(r2)0,下页,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,特征方程有两个相等的实根r1r21,例2 求方程y2yy0的通解,解,微分方程的特征方程为,r22r10,即(r1)20,因此微分方程的通解为yC1ex C2xex,即y(C1C2x)ex,下页,通解形式,r24r80 特征方程的根为r122i r222i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为ye2x(C1cos2xC2sin2x),例 3 求微分方程y4y8y 0的通解,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,解,微分方程的特征方程为,练习巩固,求下列微分方程的通解,小组成果展示,总结反馈,布置作业 继续探究,Thank you !,
