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1、本节首先详细讨论相平面上线性系统平衡点的分类, 其次描述有界轨道极限集合的结构, 最后介绍有关相平面上极限环的一些基本知识.,5.2 二维系统的定性分析,一、二维常系数线性系统平衡点的分类,为讨论平衡点附近轨道的性质，我们通过相空间坐标的线性变换来简化方程.,以下分几种情况来讨论.情况1: 两特征值为同号但不相等,不妨设,除了特殊的五条轨线（它们是平衡点和四条在原点的切线方向为特征方向的轨线)，其他的轨线是(广义的)抛物线. 除平衡点外, 有两条特殊的轨线, 它们在平衡点的切线方向是绝对值较小的特征值对应的特征方向, 而其它轨线在平衡点的切线方向都与绝对值较大的特征值对应的特征方向相同,其邻域
2、内具有这样性态轨线的平衡点称为结点(node). 当两个特征值均为负数时,上述结点为渐近稳定的. 我们称这 样的结点为渐近稳定.,情况 2. 两特征值异号，不妨设,除了特殊的五根轨道外(它们是平衡点和四条在原点的切线方向为特征方向的轨线)，其他轨道是（广义的）双曲线，轨线的分布类似于马鞍面的等位线, 故称这种平衡点为鞍点(saddle point). 鞍点是不稳定的. 一般的非常系数的二维自治系统的鞍点的定义: 若在平衡点的邻域中有且只有有限条在平衡点相切的轨线.,当两个特征值均为正实数时，上述结点是不稳定的, 从而其对应的平衡点称为不稳定结点.,情况 4.,情况 5.,消去变量 t , 得轨
3、道方程:,综上所述, 可得如下定理：定理 5.2.1 如果二维常系数实线性系统 (5.2.1) 的系数矩阵是非奇异的, 则系统的平衡点将根据特征方程的根的性质而分别具有下列的不同特性：,因此轨线是以平衡点为中心的闭轨 (在此是圆, 对于原方程而言一般是椭圆). 这种在平衡点的邻域充满闭轨的平衡点称为中心(centre). 中心是稳定的但不是渐近稳定的.,二、二维系统轨道极限集合的结构和极限环,最多只包含有限个平衡点;则下列三种情形之一成立：,定理 5.2.3 若二维系统 (5.2.6) 的非闭轨道,有界, 且,由惟一的一个平衡点q组成; 当,趋于q;,由一条闭轨L 构成; 当,盘旋地逼近于L;
4、,是由有限个平衡点和一些极限轨道构成, 当,这些极限轨道都各自分别趋于这些平衡点当中之一.,(ii),(iii),(i),.,我们称内外都稳定的环为稳定的极限环，称内外都不稳定的环为不稳定的极限环，称一侧稳定另一侧不稳定的环称为半稳定极限环.,代入(5.2.7)得极坐标下的微分方程：,现在可以证明这个闭轨是方程惟一的闭轨. 反证法: 若有另一个闭轨, 由于不同的轨道不相交, 这个闭轨只可能有三种情况. 1. 在圆 r=1 外，但不包围圆 r=1;2. 在圆 r=1 外，包围圆 r=1; 3. 在圆 r=1 内.,首先，第一种情况是不可能的，因为根据定理 5.2.4，这闭轨将包围一平衡点，这与方
5、程只有一个平衡点矛盾.,在第三种情况的闭轨上 r0，同理可证不存在其他闭轨. 因此，本例的系统存在惟一的闭轨 r=1, 是极限环. 而且从环 r=1 的内外侧 r 的正负性可知 r=1 是不稳定的极限环.,对于一般的二维非线性系统，并不是总可以用极坐标变换来求出极限环的，因此下面介绍一个判断极限环的存在性定理,(即在 D 上不变号) 且在 D 的任何子域中不恒为零; 则 (5.2.6) 不存在全部位于 D 内的闭轨. 证明: 反证法. 若在 D 内存在闭轨,以F 记由L 围成的闭区域, 不妨设闭轨L 的走向是 F 的正方向, 于是据 Green 公式和 (5.2.6) 有,其中积分上限中取正号或负号由周期轨道是逆时针或顺时针运行而定. 这与定理假设矛盾. 定理证毕.,
