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1、1,第三节 二阶常系数线性微分方程的解法,一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构,二阶常系数线性微分方程的标准形式,其中a,b是常数.,(1),(2),称为二阶常系数齐次线性微分方程。,2,二阶常系数齐次线性方程解的性质,回顾,一阶齐次线性方程,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；,3,二阶常系数齐次线性方程解的性质,1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；,2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；,也是(2)的解.,(称线性无关),则上式为(2)的通解.,定理1,(2),4,二、二阶常系数齐次线性方程的解法
2、,代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).,(3),(2),5,故它们线性无关,因此(2)的通解为,(3),情形1,6,情形2,7,情形3,可以证明,是(2)的解，,且线性无关，,所以方程(2)的通解为,8,小结,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,9,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,10,解,特征方程为,故通解为,例3,特征根为,11,对应齐次方程,三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；,2、方程(1)的
3、任意两个解之差是(2)的解 .,定理2,那么方程(1)的通解为,12,问题归结为求方程(1)的一个特解.,只讨论 f (x) 的两种类型.,用待定系数法求解.,对应齐次方程,三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),那么方程(1)的通解为,定理2,13,则,14,情形1,若 r 不是特征根,即,情形2,若 r 是特征方程的单根,即,15,情形3,若 r 是特征方程的二重根,即,16,综上讨论,设特解为,其中,17,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,18,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解为,例5,得,19,解,对应齐次
4、方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程, 得,20,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,注意：,现即,即得,这样比代入原方程要简便得多。,21,解,例7,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,22,此时原方程的通解为,23,可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:,24,解,例8,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,25,解,例9,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,26,定理3 (非齐次线性方程的叠加原理),和,的特解,的一个特解,27,例10,解,代入得,28,解,代入得,原方程通解为,例10,29,解,例11,是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B)也不对；,二阶非齐次线性微分方程,30,31,解,例12,求导，,原方程改写为,再求导，,32,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入得,33,初始条件:,34,练习：,P394 习题九,
