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1、2.2 二项分布及其应用,2.2.1 条件概率,问题提出,1.对于古典概型，事件A在一次试验中发生的概率如何计算？,P(A)事件A所包含的基本事件的个数基本事件的总数.,2.对于某一个随机事件，在不同条件下发生的概率一般是有差异的.因此，如何计算在一定条件下某事件发生的概率，是我们需要进一步研究的课题.,条件概率,探究（一）：条件概率的概念,思考1：某三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地各随机抽取1张，用“Y”表示抽到中奖奖券，用“ ”表示没有抽到中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有几种可能？如何用符号表示这些基本事件？,三种可能：,思考2：根据古典概型计算公式，第一个、第二个、
2、第三个同学抽到中奖奖券的概率分别为多少？,都为,思考3：若已知第一个同学没有抽到中奖奖券，则可能出现的基本事件有哪几种？那么第三个同学抽到中奖奖券的概率为多少？若已知第一个和第二个同学都没有抽到中奖奖券，那么第三个同学抽到中奖奖券的概率为多少？,1,思考4：记“第一个同学没有抽到中奖奖券”为事件A，“第三个同学抽到中奖奖券”为事件B，用P(B|A)表示当事件A发生时，事件B发生的概率，那么P(B|A)，P(B)分别等于多少？,P(B|A),P(B),思考5：若已知第一个同学没有抽到中奖奖券，则第三个同学抽到中奖奖券的概率增大，在理论上如何解释？,基本事件的总数减少,思考6：在事件A发生的条件下
3、事件B发生，等价于事件A和B同时发生，即交事件AB发生.记n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件个数，那么P(B|A)与n(A)，n(AB)有什么关系？,思考7：记 ， ， ，根据古典概型计算公式，则P(AB)和P(A)分别等于什么？,思考8：综上分析，P(B|A)与P(AB)，P(A)有什么关系？如何检验你的结论？,思考9：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，那么P(B|A)与P(A|B)相等吗？,一般不相等,知识探究（三）：条件概率的性质,思考1：条件概率也是概率，那么P(B|A)的取值范围是什么？,0P(B|A)
4、1,思考2：对于三个事件A，B，C，若B与C互斥，则AB与AC也互斥，由此可得PA(BC)与P(AB)和P(AC)的关系如何？,PA(BC)P(AB)(AC) P(AB)P(AC),思考3：结合条件概率的定义，如何推导P(BC)|A与P(B|A)，P(C|A)的关系？,P(BC)|AP(B|A)P(C|A),思考4：根据条件概率的定义，条件概率的计算公式可作哪些简单变形？,P(AB)P(B|A)P(A),理论迁移,例 在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次
5、抽到理科题的概率.,小结作业,1.求条件概率有两种方法，即 或 解题时要适当选取.,2.条件概率的定义反映了P(B|A)，P(AB)和P(A)三者之间的关系，若已知其中两个概率，则可求得另一个概率，这是条件概率公式的变式应用.,3.互斥事件的并事件的条件概率性质，类似于互斥事件的概率加法公式，并可以推广到多个互斥事件的并事件的条件概率.,作业：P54练习：1，2，3.,条件概率习题课,知识要点,1.条件概率的概念：,设A，B为两个事件，且P(A)0，称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.,2.条件概率的求法：,或,3.条件概率的性质：,（1）0P(B|A)1；,（2）若事件B与C互
6、斥，则P(BC)|AP(B|A)P(C|A).,应用举例,例1 某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，该类动物中路路已有20岁，求路路能活到25岁的概率.,例2 一个口袋里装有2个白球和2个黑球，从中先后两次各随机抽取1个球.（1）若先抽到1个白球且不放回，求再抽到1个白球的概率；（2）若先抽到1个白球后放回，求再抽到1个白球的概率.,例3 甲工厂生产某种产品，其市场占有率为80%，产品的合格率为95%，求从市场上购买一件该产品是甲厂生产的合格品的概率.,0.76,例4 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的
7、最后一位数字.（1）任意按最后一位数字，求不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，求不超过2次就按对的概率.,例5 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少答对其中4题即获通过，若考生至少答对其中5题即获优秀，已知考生甲能答对其中10道题，并在这次考试中已获通过，求考生甲获得优秀的概率.,2.2 二项分布及其应用,2.2.2 事件的相互独立性,问题提出,1.条件概率P(B|A)的含义与计算公式分别是什么？,含义：在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率；,公式： .,2.若事件B与C互斥，则P(BC)|A等于什么？,P(BC)|AP(B|A)P(C|A),3
8、.对于实际问题中的随机事件，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率有时会有影响，有时没有影响.若事件B发生的概率受到事件A发生的影响，我们可以利用条件概率进行计算；若事件B发生的概率不受事件A发生的影响，说明事件A与B具有相互独立性，对这种现象需要我们建立相关概念加以阐述.,事件的相互独立性,探究（一）：相互独立事件的概念,思考1：先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A为“第一次抛掷得到点数是1”，事件B为“第二次抛掷得到点数是2”，那么事件A的发生对事件B发生的概率是否有影响？事件A、B发生的概率分别是多少？,没有影响，都为 .,思考2：某三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地
9、各随机抽取1张，设事件A为“第一个同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三个同学抽到中奖奖券”，那么事件A的发生对事件B发生的概率是否有影响？事件A、B发生的概率分别是多少？,没有影响，,思考3：一般地，对于事件A，B，如果事件A的发生不影响事件B发生的概率，那么P(B|A)与P(B)有什么关系？根据条件概率计算公式可得什么结论？,P(B|A)P(B)，P(AB)P(A) P(B).,思考4：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.你能列举一个相互独立事件的实例吗？,探究（二）：相互独立事件的性质,思考1：如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)P(A)
10、P(B)一定成立吗？,思考2：若A为必然事件或不可能事件，则对任意事件B，事件A与事件B相互独立吗？,相互独立,事件A与B相互独立 P(AB)P(A)P(B),思考3：事件A与事件B相互独立与P(B|A)P(B)等价吗？,不等价，因为当P(A)0时，P(B|A)没有意义.,思考4：若事件A与事件B相互独立，则事件A与 ， 与B， 与 相互独立吗？为什么？,相互独立,思考5：若事件A1，A2，An两两之间相互独立，则P(A1A2An)等于什么？如何证明？,P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An),思考6：对于事件A与B，AB的对立事件是什么？若事件A与B相互独立，则P(AB)等于什么？,
11、理论迁移,例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，每张奖券可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动，如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中下列事件的概率.（1）两次都中奖；（2）恰有一次中奖；（3）至少有一次中奖.,0.0025,0.095,0.0975,例2 先后抛掷一枚硬币若干次，记“既有正面朝上又有反面朝上”为事件A，“至多有一次正面朝上”为事件B，在下列情形下，试推断事件A与B是否相互独立？（1）先后抛掷一枚硬币2次；（2）先后抛掷一枚硬币3次.,不相互独立,相互独立,小结作业,1.事件A与B相互独立可直观理解为：事件A的发生对事件B发生的概率没
12、有影响，同时事件B的发生对事件A发生的概率也没有影响.在实际应用中，如果事件A与B是在相同条件下进行的随机试验，则事件A与B相互独立.,2.公式P(AB)P(A)P(B)可以理解为：相互独立事件同时发生的概率，等于它们的概率之积.如果事件A与B不相互独立，那么事件A与B同时发生的概率应利用条件概率求解.,3.两个事件互斥与两个事件相互独立是完全不同的两个概念，若事件A与B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，这是和事件的加法公式；若事件A与B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)，这是积事件的乘法公式.,作业：P55练习：1，2，3，4.,相互独立事件习题课,知识要点,1.相互独立事件的概念：,
13、设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.,2.相互独立事件的性质：,(1)若事件A与事件B相互独立，则事件 A与 ， 与B， 与 相互独立.,（2）若事件A1，A2，An两两之间相互独立，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)；,（3）若事件A与B相互独立，则,应用举例,例1 甲、乙两人各自独立地破译某个密码，其中甲破译出密码的概率为 ，乙破译出密码的概率为 ，求：（1）甲、乙两人中恰有一人破译出密码的概率；（2）甲、乙两人中至少有一人破译出密码的概率.,例2 把大小相同的30个球分装在三个盒子里，每盒10个，其中第一个盒子里有7个球标有字
14、母A，3个球标有字母B，第二个盒子里有5个红球和5个白球，第三个盒子里有8个红球和2个白球.先在第一个盒子中任取一球，若取到标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取到标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.求第二次取到的球是红球的概率.,例3 用A，B，C三个不同的电子元件连接成一个系统，如图.当元件A正常工作，且元件B、C至少有一个正常工作时，该系统正常工作.已知元件A，B，C正常工作的概率分别是0.8，0.9，0.9，求该系统正常工作的概率.,0.792,例4 某三支足球队中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6.比赛规定第一局：甲对乙；第二局：第
15、一局的胜者对丙；第三局：第二局的胜者对第一局的负者；第四局：第三局的胜者对第二局的负者，求乙队四连胜的概率.,0.09,例5 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为1/4，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为1/12，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2/9.（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率.,2.2 二项分布及其应用,2.2.3 独立重复试验与二项分布,问题提出,1.事件A与事件B相互独
16、立的充要条件是什么？,事件A与B相互独立 P(AB)P(A)P(B),2.若事件A1，A2，An两两之间相互独立，则P(A1A2An)等于什么？,P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An),3.在研究随机现象时，经常要在相同条件下重复做大量试验来发现规律，在大量重复试验中，如何计算随机事件发生的概率，又成为一个新的研究课题，对此，我们又需要建立相应的理论来进行分析与阐述.,独立重复试验与二项分布,探究（一）：独立重复试验,相互独立,思考1：在同等条件下，将一枚硬币重复抛掷100次，记Ai(i1，2，100)表示“第i次抛掷硬币正面朝上”，那么事件A1，A2，A100两两之间是否相互独立？
17、,思考2：在同等条件下，某射手连续射击20次，记Ai(i1，2，20)表示“第i次射击不小于8环”，那么事件A1，A2，A20两两之间是否相互独立？,思考3：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.那么在n次独立重复试验中，每次试验的结果具有什么特点？,不受其它试验结果的影响，具有相同结果的随机事件彼此相互独立.,思考4：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，连续投掷3次，则仅出现1次针尖向上有哪几种情形？如何计算仅出现1次针尖向上的概率？,记Ai(i1，2，3)表示第i次投掷针尖向上，则,思考5：在上述投掷图钉的试验中，出现0次，2次，3次针尖向上的概率分别是多少？,思考6：
18、在上述投掷图钉的试验中，设恰好出现k(k0，1，2，3)次针尖向上的概率为Pk，则Pk的一般表达式是什么？,，k0，1，2，3.,思考7：假设在投掷图钉的试验中，每次抛掷针尖向上的概率都是0.7，则连续抛掷10次恰有6次针尖向上的概率如何计算？,思考8：一般地，设在每次试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率如何计算？,k0，1，2，n.,探究（二）：二项分布,思考1：在n次独立重复试验中，每次试验的结果是一个随机变量，如果在每次试验中事件A发生称为“成功”，则在n次独立重复试验中“成功”的次数X又是一个随机变量，那么随机变量X的值域是什么？,X0，1，2，
19、n,思考2：假设在每次试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X的分布列用哪种方式表示较好？如何表示？,解析法： k0，1，2，n.,思考3：上述概率与二项式定理有什么联系？,表达式与二项展开式的通项一致,思考4：若随机变量X的分布列为， ， k0，1，2，n，则称X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率.在二项分布中，每次试验的结果有几种可能？,两种，即A发生与A不发生,思考5：二项分布与两点分布有什么内在联系？,两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果，两点分布是n1时的二项分布.,理论迁移,例1 某射手每次射击击中目标的概率都是0.8，若这名
20、射手射击10次，求（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率.（结果保留两个有效数字）；（3）最有可能击中目标几次？,0.3,0.68,8次,例2 某车间有5台机床，在1小时内每台机床需要工人照管的概率都是0.25，求在1小时内这5台机床中至少有2台需要工人照管的概率.（结果保留两个有效数字）,0.37,小结作业,1.在独立重复试验中，若每次试验结果只有事件A发生或不发生两种可能，则事件A发生的次数服从二项分布；若每次试验结果有多种可能，则可以根据需要适当设定事件A，将其转化为二项分布.,2.二项分布B(n，p)中有两个参数，其中n是独立重复试验的总次数，p是每次试验事件A发
21、生的概率，书写时n在左，p在右.,3.二项分布是来自于独立重复试验的一个概率模型，对于求在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率，就直接利用概率公式求解.,作业：P58练习：1，2，3，4.,独立重复试验与二项分布 习题课,知识要点,1.独立重复试验的概念：,在相同条件下重复做的n次试验.,2.独立重复试验的概率公式：,设在每次试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率 ,k0，1，2，n.,3.二项分布的概念：,若随机变量X的分布列为， ， k0，1，2，n，则称X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率.,应用举例,例1 一个口袋里装有2个
22、红球和8个白球，每次从中任取一个球，每次取球后放回，求在3次取球中恰有1次取到红球的概率.,例2 某单位6名员工借助互联网开展工作，已知某时刻每个员工上网的概率都是0.5，且每个员工上网与否相互独立，求：（1）该时刻至少有3人同时上网的概率；（2）该时刻至少有4人同时上网的概率.,例3 某产品检验员在检验某种产品质量时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次品错误地鉴定为正品的概率为0.2，已知某4件产品中有3件正品和1件次品，求被检验员鉴定为2件正品和2件次品的概率.,0.1998,例4 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培
23、训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%， 参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（1）任选1名下岗人员，求此人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列.,0.9,B(3，0.9),作业：P60习题2.2A组：3. B组：1.,随机事件的概率习题课,概率原理,1.古典概型：,P(A)事件A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数.,2.几何概型：,3.对立事件的概率：,4.互斥事件只有一个发生的概率：,若事件A与B互斥，则 P(AB)P(A)P(B).,5.并事件至少有一个发生的概
24、率：,P(A)P(B)P(AB).,6.条件概率：,7.独立事件同时发生的概率：,若事件A与B相互独立，则 P(AB)P(A)P(B).,8.独立重复试验恰好发生k次的概率：,若在每次试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ， k0，1，2，n.,应用举例,例1某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人.现分别从甲、乙两组中各抽取2名工人进行技术考核.（1）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（2）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.,例2（09北京卷文）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯
25、是相互独立的，遇到红灯的概率都是1/3，遇到红灯时停留的时间都是2min，求这名学生在上学路上：（1）到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.,例3（09天津卷文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C三个区中分别有18，27，18个工厂.（1）求从A，B，C三个区中分别抽取的工厂个数；（2）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.,2，3，2.,例4（09重庆卷文）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2珠，设甲、乙两种
26、大树移栽的成活率分别为5/6和4/5，且各株大树是否成活互相不影响，求移栽的4株大树中：（1）至少有1株成活的概率；（2）两种大树各成活1株的概率.,例5（09江西卷文）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是0.5.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求：(1) 该公司的资助总额为零的概率； (2)该公司的资助总额超过15万元的概率,例6（08山东卷理）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为2/3，乙队中3人答对的概率分别为2/3，2/3，1/2，且各人答题正确与否相互之间没有影响.（1）求甲队的总得分X的分布列；（2）设“甲、乙两个队总得分之和等于3”为事件A，“甲队总得分大于乙队总得分”为事件B，求P(AB).,XB(3，2/3),
