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1、2.3 二项式定理的发现、应用与推广,二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664、1665年间提出,二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用,物理是我的强项,数学上我同样有建树,2.3.1 二项式定理的发现,通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:,为了便于看出规律，我们把它补充完整:,为了便于研究其中的规律, 1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数.他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和.用公式表示为:,这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。,(a+b)1,(a+b)3,(a+b)4,(a+b
2、)5,(a+b)2,(a+b)6,(a+b)n,这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”,表中的每一个数等于它肩上的两数的和,类似上面的表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民
3、族自豪的,详解九章算法中记载的表,杨 辉,通过进一步研究， 1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:,1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。,二项式定理研究的是 的展开式.,此法有困难,多项式乘法的再认识,规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.,问题1,4个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？,都不取蓝球 （全取红球）： 取1个蓝球 （1蓝3红） ： 取2个蓝球 （2蓝2红） ： 取3个蓝球 （3蓝1红） ： 取4个蓝球 （无 红球） ：,问题2,取4个a球 （不取 b球） ： 取3个a
4、球 （取3 a 1 b） ： 取2个a球 （取2 a 2 b） ：取1个a球 （取1 a 3 b） ： 不取 a球 （全取b球） ：, 项：, 系数：,1, 展开式：,探究1 推导 的展开式.,猜想,探究2 仿照上述过程,推导 的展开式.,猜想：,没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 -牛顿,项：,系数：,探究3：请分析 的展开过程，证明猜想.,L,L,展开式：,二项展开式的通项:,二项式系数:,项数：,次数：,共有n1项,各项的次数都等于n，,字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .,杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家,二项式定理,二项式定理,
5、二项式定理的数学归纳法证明,证:,需要证明,证毕,杨辉三角 ,之数学史话,2.3.2、杨辉三角与二项式系数,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1、与二项式定理的关系： 表中的每个数都是二项式系数，第n行的第r+1个数是第n行各数的和为n,尝试探索,第0行1,、杨辉三角第n行各数的特点,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1, , ,杨辉三角的第n行中的
6、数对应于二项式(a+b)n展开式的二项式系数,杨辉三角的各行数字的和等于与之对应的(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和为2n。,2、杨辉三角的基本性质和对称性,基本性质：杨辉三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加.,对 称 性：杨辉三角形的每一行中的数字左右对称.,探究：研究斜行规律：,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上：,第四条斜线上：,猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于,1+1+1+1+1+1=,1+2+3+4+5=,1+3+6+10=,1+4+10=,第m+1条斜线上的第n个数.,111 1 （第1条斜线 ）,(n
7、r),111 1 （第1条斜线 ）,（第3条斜线 ）,（第2条斜线 ）,结论：杨辉三角中，第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数,即,根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜线(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。,想一想：（07）湖南理（15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01数表，从上往下数：第一次全行的数都为1 的是第一行，第二次全行的数都为1 的是第3行，第n次全行的数都为1 的是第 行第一行 1 1第二行 1 0 1第三行 1 1 1 1 第四行 1 0 0 0 1第五行 1 1 0 0 1
8、 1 分析：本题是对杨辉三角的考察，一行全即本身全为奇数，因此，我们继续探究下表,2n1,3,5,8,第0行,4,10,13,1,2,6,7,9,11,12,14,15,1）杨辉三角中的第1，3，7，15，行，即第行的各个数字为奇数？,2n-1,除两端的1之外都是偶数.,则第2n行的数字有什么特点？,探究、横行规律,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,想一想：如图，
9、写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;,这就是著名的斐波那契数列 。,探究,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n3) 这就是著名的 斐波那契数列,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生的第个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
10、,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，,1.斐波那契“兔子繁殖问题”,2.3.3 应用:,则第n 行（n 2 ）第2个数是什么？,分析:设第 n 行的第 2 个数为 an ,则a2 = 2 ,an+1 - an =n, an = 2 + 2 + 3 + ( n-1)=,2 应用探讨在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,“概率三角形”,照这样计算第n
11、+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？,与杨辉三角有何关系？,小球从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加。,于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是：,第一层 1,第二层 1 1,第三层 1 2 1,第四层 1 3 3 1,第五层 1 4 6 4 1,右图是一个城市某街区模型。,3 应用探讨,1 2 11 3 3 1,继续数下去，就知道到达各点的路径总数恰好构成了一个杨辉三角形。,4.2.4 二项式定理的推广1,上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情
12、况呢?1665年，牛顿对此进行了研究。他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：,为了便于比较，我们把二项式定理改写为：,经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：,二项式定理的推广1,这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时，有：,验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证，结果也与猜想一致。,然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？牛顿认为这已经足够了，不需
13、要进一步证明，他也没有给出证明。1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。,二项式定理的推广2,二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的n次幂，这时该怎么办？最容易想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。例如，对于三项和的n次幂，可以如下计算,2.3.4 二项式定理的推广2,具体写出来是,二项式定理的推广2,为了保持展开后
14、的对称性，我们把展开式写成,二项式定理的推广2,把公式中字母的系数提取出来经过仔细观察，我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面体。四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。,二项式定理的推广2,同样的方法，我们可以得到四项和的n次幂的计算公式,二项式定理的推广2,为了看出多项和n次幂的计算公式的一般规律，我们把前面得到的结果列在一起：,二项式定理的推广2,通过认真观察，我们不难发现以下规律：1）展开式中各个字母的指数和为n；2）系数的分子都是n！，分母为指数阶乘之积；3）求和条件为各指数均非负，且和为n于是，我们可以把这些展开式统一表达为,二项式定理的推广3,上面得到的就是多项式定理，你能把它推广到负指数和分数指数的情况吗？大胆的试试看，你的创造力会得到激发和锻炼。,
