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1、二项式定理的性质,学海导航:了解杨辉三角,掌握二项式的几个重要性质,复习回顾:,二项式定理及展开式:,(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4(a+b)5(a+b)6,=,=,=,=,=,=,a + b,a3+3a2b+3ab2+b3,a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5,a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6,a2+2ab+b2,二、新课,(a+b)1 = 1a + 1b (a+b)2= 1a2+2ab+1b2 (a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3 (a+b)4=
2、1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 (a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6 (a+b)7= ? (a+b)8= ? (a+b)n= ?,(a+b)1 _(a+b)2 _ (a+b)3 _(a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+1_,1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1,1 C C C C 1,1 C C C 1, ,杨辉三角,(a+b)1
3、 _(a+b)2 _ (a+b)3 _(a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+1_,1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1,1 C C C C 1,1 C C C 1, ,杨辉三角,详解九章算法中记载的表,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似左面的表：,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,性质1：对称性,二 项 式 系 数 的 性 质,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,性质2：增减性与最大值,
4、由：,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,当n= 6时,其图象是7个孤立点,20,10,30,35,O,n,f（r）,n为奇数,n为偶数,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,性质3：各二项式系数的和,性质4:,在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,例1：求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大的项,解：已知二项式幂指数是偶数，展开式共项，依二 项式系数性质中间一项的二项式系数最大，则： T5=C84(2x)4
5、=7016x4=1120 x4,三、例题,解：依题意, n 为偶数，且,例2 已知 展开式中只有第10项系数最大，求第五项。,例、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + + a7x7 ,则(1)a1+a2+a3+a7=_(2)a1+a3+a5+a7 =_,分析：求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使问题简单化。通常选取赋值时取1，1。,2、在(ab)10展开式中，二项式系数最大的项是( ).,1、在(ab)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).,A,A.第6项 B.第7项C.第6项和第7项 D.第5项和第7项,C,A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第1
6、8项,此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。,注：,四、练习,3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为 A.8 B.9 C.10 D.11 4.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A.第2n+1项 B. 第2n+2项 C. 第2n项 D第2n+1项或2n+2项 5.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，则n的值为 （ ） A16 B.15 C.14 D.13,A,A,D,（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法,（1）二项式系数的三个性质,五、小结,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,
