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1、5.1.2垂线,知识点一,知识点二,知识点三,知识点一垂线的定义及画法1.垂线的定义:如图,当两条直线AB和CD相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作“ABCD”,读作“AB垂直于CD”,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点O叫做垂足.2.垂线的画法(1)让直角三角板的一条直角边与已知直线重合;(2)沿直线左右移动三角板,使其另一条直角边经过已知点;(3)沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线.用三角板画垂线的三个步骤简单归纳为:一贴;二过;三画.,知识点一,知识点二,知识点三,名师解读 (1)线段与线段、线段与射线、射线与射线,线段或射线与直线垂
2、直,特指它们所在的直线互相垂直.(2)两条直线互相垂直,则四个角为直角.反之也成立.(3)可以用三角尺画垂线,也可用量角器,也可利用方格纸,还可用折纸的方法折出互相垂直的直线.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点二垂线的性质性质1:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.,知识点一,知识点二,知识点三,例1如图,在三角形ABC中,BCA=90,CDAB于点D,线段AB,BC,CD的大小顺序如何,并说明理由.分析:利用“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”即可求出三线的关系.解:CD
3、AB于点D,BCCD.BCA=90,ABBC.ABBCCD.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点一,知识点二,知识点三,知识点三点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.名师解读 垂线是直线;垂线段特指一条线段,是图形;点到直线的距离是指垂线段的长度,并且是一个数量,是有单位的.,知识点一,知识点二,知识点三,例2如图,ACB=90,即ACBC,若BC=8 cm,AC=6 cm, AB=10 cm,那么B到AC的距离是,A到BC的距离是, A,B两点间的距离为,C到AB的距离是.,解析:ACB=90,即ACBC,若BC=8 cm,AC=6 cm,AB=10 cm,
4、那么B到AC的距离是8 cm,A到BC的距离是6 cm,A,B两点间的距离为10 cm,C到AB的距离是 =4.8(cm).答案:8 cm6 cm10 cm4.8 cm,知识点一,知识点二,知识点三,拓展点二,拓展点一,拓展点一与垂直有关的角的计算例1(2017河南商丘期中)如图,已知直线AB与CD相交于点O, OE是BOD的平分线,EOFO于点O,若BOE=20.(1)求AOC的度数;(2)求COF的度数.,分析:(1)根据角平分线的性质可得DOE=BOE= BOD,再由BOE=20可得BOD的度数,然后再根据对顶角相等可得答案;(2)根据垂直定义可得EOF=90,再利用平角定义计算出AOF
5、的度数,然后可得COF的度数.,拓展点二,拓展点一,解:(1)OE是BOD的平分线,DOE=BOE= BOD,BOE=20,BOD=40,AOC=40.(2)EOFO于点O,EOF=90,BOE=20,AOF=180-90-20=70,COF=70+40=110.,拓展点二,拓展点一,拓展点二垂线的性质的应用例2一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的两个学校,如图,(1)汽车在公路行驶时,会对两个学校教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校影响最大?在图上标出来.(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校影响越来越大?在哪一段上对两个学校影响越来越
6、小?在哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校影响逐渐增大?分析:根据生活经验可知,汽车与学校距离越近,对学校的影响越大,距离学校越远,对学校的影响越小.在汽车行驶的过程中,当汽车位于学校与路垂直的位置时,与学校的距离最近,其影响最大.,拓展点二,拓展点一,解:(1)如图,作MCAB于C,NDAB于D,根据“垂直的线段最短”,所以在C处对M学校的影响最大,在D处对学校N的影响最大.(2)由A向C行驶,对两个学校影响逐渐增大,由D向B行驶时,对两个学校的影响逐渐减小,由C向D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.,拓展点二,拓展点一,P5练习1.解:这两条直线互相垂直.因为两条直线相交,所成的四个角都相等,则每个角都等于90,所以这两条直线互相垂直.点拨:根据垂直的定义进行判断.2.解:如图所示:,P6练习(1)AC,BC(2)解:AB边最长,因为连接点A与直线BC上各点的所有线段中,AC最短,所以ABAC;连接点B与直线AC上各点的所有线段中,BC最短,所以ABBC,故AB最长.,
