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1、2.4.1 等比数列,学习目标,1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数 列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.,引例：, 如下图是某种细胞分裂的模型：,细胞分裂个数可以组成下面的数列：,1,2,4,8,16,庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”,意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。,如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：,引例：,引例：,一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒
2、称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：,1,20,202,203,引例：, 除了单利，银行还有一种支付利息的方式复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式是：本利和 = 本金（1+利率）存期。现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：,观察：,请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同
3、一个常数；我们给具有这种特征的数列一个名字等比数列,一、等比数列的定义：,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。,是等比数列，则,.,如写成行不行？,范例讲解,例1：已知数列 的通项公式为 试问这个数列是等比数列吗？,请同学们逆向思考这个问题？,二、等比数列的通项公式：,法一：不完全归纳法,由此归纳等比数列的通项公式可得：,等比数列,类比,二、等比数列的通项公式：,累乘法,共n 1 项,）,等比数列,类比,等比数列通项公式的变形,已知等比数列的公比为q,第m项为 ,求 .,(2)1，3，9
4、，27，81，243，,(5) 5，5，5，5，5，5，,(6) 1，-1，1，-1，1，,(1)2，4，8，16，32，64.,思考：下面数列的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？,等比数列的图像是其相应相应函数图象上一些孤立的点，当 ，其图像可看作是非零常数 与指数函数 乘积数所得函数图象上的一些孤立的点,发现,思考：你能通过对公比 的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？,当 时，该数列为递增数列,当 时，该数列为递增数列,当 时，该数列为递减数列,当 时，该数列为递减数列,当 时，该数列为非零常数列,当 时，该数列为摆动数列,三.等比中项,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个
5、数就会成为一个等比数列：,（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，1,3,2,6,1,在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。,例2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?,是,范例讲解,是,例3、已知等比数列an中，a5=20,a15=5,求a20.,解：由a15=a5q10，得,范例讲解,思考与讨论：对于例3中的数列，你是否发现a5,a10,a15,a20恰好构成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？,解,：用an 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有,解得,因此，,答：这个数列的第1项与第2项分别是,例4一个等比数列的第项和第项分别是和，求它的第项和第项,思考与讨论：对于例3中的数列，你是否发现 与 相等你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？,课堂练习：课本练习1、2。,补充练习,（1） 一个等比数列的第9项是 ，公比是 ，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。,小结,1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式： ，（n 2，n N）；2、要会推导等比数列的通项公式： ，并掌握其基本应用；,谢谢,
