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1、对数函数,讲课人：郑雨生内蒙古卓资县职业中学,2022/11/17,2,复习上节内容,1、对数函数 y = log a x ( a0 且 a 1 ) 是指数函数 y = a x ( a0 且 a 1 ) 的反函数。,2022/11/17,3,复习上节内容,2、对数函数的图象与性质：,2022/11/17,4,例1、比较下列各组数中两个数的大小：,（2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7,解： y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ) 上是减函数,且 1 . 8 2 . 7, log 0 . 3 1 . 8 log 0 . 3 2 . 7,2022/
2、11/17,5,例1、比较下列各组数中两个数的大小：,（3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 ( 0a1 ),解： y = log a x ( 0a1 ) 在 ( 0 , + ) 上是减函数,且 5 . 1 5 . 9, log a 5 . 1 log a 5 . 9,2022/11/17,6,例2：比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 6 7 与 log 7 6,解： log 6 7 log 6 6 = 1,且 log 7 6 log 7 7 = 1, log 6 7 log 7 6,（2） log 3 与 log 2 0 . 8,解： log 3 log 3 1 =
3、 0,且 log 2 0 . 8 log 2 1 = 0, log 3 log 2 0 . 8,2022/11/17,7,例2：比较下列各组数中两个值的大小：,（3） log 2 7 与 log 3 7,解： log 7 3 log 7 2 0, log 2 7 log 3 7,（4） log 0 . 2 0 . 8 与 log 0 . 3 0 . 8,解： log 0 . 8 0 . 2 log 0 . 8 0 . 3,且 log 0 . 8 0 . 2 、 log 0 . 8 0 . 3 0, log 0 . 2 0 . 8 log 0 . 3 0 . 8,2022/11/17,8,例3、
4、设 0 x1，a0 且 a1，试比较 | log a ( 1x ) | 与 | log a ( 1 + x ) | 的大小。,| log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |, 0 x1, 01x11 + x 2,即 | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) | 0, | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |,解：,当0a1时,则有,=log a ( 1x ) +log a ( 1 + x ),=log a ( 1x ) ( 1 + x ),2022/11/17,9,例3、设 0 x1，a0 且 a1，试比较
5、| log a ( 1x ) | 与 | log a ( 1 + x ) | 的大小。,| log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |, 0 x1, 01x11 + x 2,即 | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) | 0, | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |,解：,当a1时,则有,=log a ( 1x ) log a ( 1 + x ),=log a ( 1x ) ( 1 + x ),2022/11/17,10,例3、设 0 x1，a0 且 a1，试比较 | log a ( 1x ) | 与 |
6、 log a ( 1 + x ) | 的大小。,| log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |,当a1时,有,当0a1时,有,| log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |,| log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |.,综上所述,对于0 x1，a0 且 a1的一切值总有,从以上分类讨论,得,2022/11/17,11,例4、求函数 y = log 2 ( 1x 2 ) 的值域和单调区间。,解： 1x 2 0,且 1x 2 1,即 0 1x 2 1, y 0,故 函数的值域为 (，0 ),由于此函数的定义域为 (1
7、 , 1 ),且 y = log 2 t 在 ( 0 , 1 ) 上是增函数,又 t = 1x 2 (1 x1 )的单调递增区间为 (1，0 , 单调递减区间为 0 ，1 ),故此函数的单调递增区间为 (1，0 ,单调递减区间为 0 ，1 ),2022/11/17,12,例5、已知 f ( x ) = lg ( a x b x ) ( a1b0 )（1）求 f ( x ) 的定义域；,解：由题 a x b x 0 得 a x b x, a1b0, x 0,故 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , + ),2022/11/17,13,例5、已知 f ( x ) = lg ( a x b x )
8、 ( a1b0 ),(2)判断 f ( x ) 的单调性。,解：设 0 x 1x 2 + ,则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) =, a1b0,即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0, f ( x 1 ) f ( x 2 ),故 f ( x ) 在( 0 , + ) 上是增函数,2022/11/17,14,（3）此函数的图象上不存在不同两点，使过两点直线平行 于 x 轴。,证：设 A ( x 1 , y 1 )、B ( x 2 , y 2 ) 且 x 1 x 2, f ( x ) 在( 0 , + ) 上是增函数, y 1 y 2,故 过这两点的直线不平行于 x 轴。,例5、已
9、知 f ( x ) = lg ( a x b x ) ( a1b0 ), 当x 1 x 2时,则y 1 y 2,则 y 1 y 2,当x 1 x 2时,2022/11/17,15,例5、已知 f ( x ) = lg ( a x b x ) ( a1b0 ),（4）当 a、b 满足什么条件时，f ( x ) 在区间 1 , + ) 上恒 为正。,解： f ( x ) 在( 0 , + ) 上是增函数, f ( x ) min = f ( 1 ) = lg ( a b ),只要使 lg ( a b ) 0就可以了,故满足 a b 1,要使f ( x ) 在区间 1 , + ) 上恒为正。,2022/11/17,16,（一）同底数比较大小时 1、当底数确定时，则可由函数的单调 性直接进行判断。 2、当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论,（三）若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较,（二）同真数的比较大小, 常借助函数图象 进行比较,小结：两个对数比较大小,2022/11/17,17,同学们 再见！,
