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1、第一章 计数原理 1.2 排列,复习,两个基本原理,分类加法计数原理类类独立，不重不漏,分步乘法计数原理步步相依，步骤完整,联系,区别一,完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”,完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”,区别二,每类办法都能独立完成这件事情。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。,分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。,区别三,各类办法是互斥的、并列的、独立的,各步之间是相关联的,分类计数与分步计数原理的区别和联系：,问：用1，2，.8，
2、9可组成多少个无重复数字的六位数？,步骤繁多，如何简化？排列问题公式化,3名同学排成一排照相，有多少种排法？,方法1 （枚举法）把三名同学用A、B、C作为代号，于是有以下6种排法：ABC ACB BCA BAC CAB CBA,方法2 （分步计数）A，B，C三人排成一行，可以看作讲字母A,B,C顺次排入相邻的三个方格中.首先排第一个位置：从A，B，C中任选一人，有3种方法.其次排第二个位置：从剩下的2人中任选1人，有2种方法.最后排第三个位置：只有1种方法.根据乘法原理，3名同学排成一排照相，共有321=6种排法.,问题提出,问题1,问题2,北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种
3、机票？,方法一：枚举法,方法二：分步计数,从起点到终点按顺序排列,第一步：确定起点，有 4种方法,第二步：确定终点，有 3种方法,由乘法原理知， 共有43种机票.,问题3,从4面不同颜色的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，能组成多少种信号？,分三步完成,第1步,先选第1面旗子，有4种选择方法.第2步,在剩下的3种颜色中，再选第2面旗子，有3种选法.第3步,在剩下的2种颜色中，再选最后一面旗子，有2种选法.,432=24种方法,从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个,然后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?,abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bc
4、a,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.,共有 432=24 种,问题转化,一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).,注意4、当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序相同称两个排列相同,基本概念,注意1、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。,注意2、mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫 全排列。,注意3、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图”。,1、排列：
5、,例1、下列问题中哪些是排列问题？,（1）10名学生中抽2名学生开会,（2）10名学生中选2名做正、副组长,（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘,（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除,（5）20位同学互通一次电话,（6）20位同学互通一封信,（7）以圆上的10个点为端点作弦,（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线,（9）有10个车站，共需要多少种车票？,（10）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？,哪些是全排列？,2、排列数：,从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。,“排列
6、”和“排列数”有什么区别和联系？,问题3中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出,探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数 是多少？,呢？,呢？,问题2中是求从4个不同元素中取出2个元素的排列数，记为 ,已经算出,排列数公式（1）：,当mn时，,正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示。,n个不同元素的全排列公式：,排列数公式（2）：,为了使当mn时上面的公式也成立，规定：,练习1：利用（计算器）计算:,几个常见阶乘数值：,求证：,例2,例3 某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?,有5本不同的书,从中选出
7、3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?,有5种不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?,排列数,分步乘法计数原理,例4 某信号兵用红,绿,蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面,三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的信号?,信号分三类，第一类为3面旗组成的信号，共A33种，第二类为2面旗组成的信号，共A32种，第三类为1面旗组成的信号，共A31种，由加法原理得,解,N=6+6+3=15,练习2 用09这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,注：0不能排在百位上,分析:每一个三位数都可看成是这十个数字中任取三
8、个数字的一个排列,解法一:百位用非零元元素先占，由乘法原理得 A91A92=998=648(个)解法二:把特殊元素“0”先放在满足要求的位置上:三个数字都不为0个位数字是0十位数字是0；由加法原理 A93+A92+A92=987+98+98=648(个),用09这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解法三:先计算出10个数字任取3个数字的排列数，然后再去掉不符合要求的排列数,有 A103-A92=1098-98=648(个),1.直接计算法：即把符合限制条件的排列数直接计算出来，此种算法又可分为先考虑特殊元素还是先考虑特殊位置两种方法。2.间接计算法：即先不考虑限制条件，把所有排列
9、种数算出。再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合条件的排列种数。,归纳,小结,1.排列,全排列,阶乘的意义,排列数的阶乘形式.2.解决排列问题的一般思路:(1)把问题分步来完成,用分步计数原理求解;(2)转化为求排列数问题来解决.,作业：1、P11 B组 1、22、步步高、新课程练习,例3、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有多少种？,例4、（1）将18个人排成一排，不同的排法有多少种？,（2）将18个人排成两排，每排9人，不同的排法有多少种？,（3）将18个人排成三排，每排6人，不同的排法有多少
10、种？,例5、5人站成一排，（1）其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？,（2）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种不同的排法？,例6、5名学生和1名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有多少种不同的站法？,（3）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多少种不同的排法？,练3 、7个人站成一排，其中甲、乙、丙三人顺序一定，共有多少种不同的排法？,练1、4名学生和3名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有多少种？,练4 、在7名运动员中选出4名组成接力队参加4100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有多少种？,练2 、停车场有7个停车位，现在有4辆车要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法有多少种？,
