《一二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构ppt课件.ppt（25页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构,第六章微分方程初步,第五节二阶常系数线性非齐次微分方程,二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构,形如,y + py + qy = f (x),的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程，,二阶常系数线性非齐次方程的解的结构,1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = Pn(x),其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式.,当原方程 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；,当 q = 0，但 p 0 时，,k 取 1；,当 p = 0， q
2、= 0 时，k 取 2.,因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设 式的特解为,其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式，,例 5求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解.,解因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 .,所以设特解为,比较两端 x 同次幂的系数，有,解得,A = 1，B = 4，C = 6.,故所求特解为,例 6求方程 y + y = x3 x + 1 的一个特解.,解因为自由项 f (x) = x3 x + 1 是一个 x 的三次多项式，,则,代入原
3、方程后，有,且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1.,所以设方程的特解为,比较两端 x 同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2 自由项 f (x) 为 Aeax 型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = Aeax，,其中 a，A 均为常数.,由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中 B 为待定常数，,当 a 不是 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0；,当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1；,当 是其特征方程重根时，取 k = 2.,因此，我们可以设 的特解,例 7求方程 y
4、+ y + y = 2e2x 的通解.,解a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,例 8求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解.,解a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,3 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，,其中 a，A ，B 均为常数.,由于 p，q
5、 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此, 我们可以设 有特解,其中 C，D 为待定常数.,取 k = 0，,是根时，,取 k = 1，,代入 式，求得 C 及 D.,当 a + wi 不是 式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,例 9求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解.,解自由项 f (x) = ex cos 2x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，,则,且 a + wi = 1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r 1 = 0 的根，,取 k =
6、0，所以设特解为,代入原方程，得,比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得,解此方程组，得,故所求特解为,例 10求方程 y + y = sin x 的一个特解.,解自由项 f (x) = sin x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a = 0，w = 1，,则,代入原方程，得,且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根，,取 k = 1，所以，设特解为,比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得,故原方程的特解为,而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为,Y = C1cosx + C2sinx.,故原方程的通解为,例 11方
7、程 y + 4y = x +1 + sinx 的通解.,解自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和，,y + 4y = x +1，,y + 4y = sin x .,和,方程 的特解易求得，,设方程 的特解为,的特解.,所以分别求方程,代入，得,3Asin x = sin x.,所以,得原方程的特解,原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0，其通解为,Y = C1cos 2x + C2sin 2x，,故原方程的通解为,三、应用举例,例 12 弹簧振动问题,设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的
8、物体，,当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，,设给物体一个初始位移 x0 初速度 v0，,则物体便在其平衡位置附近上下振动.,已知阻力与其速度成正比，,试求振动过程中位移 x 的变化规律.,物体在振动过程中，受到两个力的作用：,ma = - kx mv,其中 a 为加速度，,v 为速度，,解 建立坐标系，平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间 t 的函数 x = x(t).,根据牛顿第二定律 F = ma，知,负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反，,其中 m 为比例系数大于 0 ( 或称阻尼系数 )，,阻力 f2 与速度 v 成正
9、比， f2= - mv,负号表示弹性恢复力与位移 x 方向相反；,其中 k 为弹性系数大于 0，,由胡克定律知， f1= - kx，,弹性恢复力 f1 与阻力 f2，,则上式方程可表示为,称为振动的微分方程，,是一个二阶常系数线性齐次方程，,它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0，,其根为,那么，上式变为,这里 n，w 为正常数，,由题意列出初始条件,于是，上述问题化为初值问题：,下面分三种情况来讨论,1 大阻尼情形，即 n w .,是两个不相等的实根. 所以方程的通解为,2 临界阻尼情形，即 n = w.,这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为,3 小阻尼情形，即 n w .,这时，特征根为共轭复数,所以方程的通解为,上式也可写成,对于 1， 2,情形，x(t) 都不是振荡函数，,且当 t + 时， x(t) 0，,即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置.,对于 3 的情形，虽然物体的运动是振荡的，,但它仍随时间 t 的增大而趋于平衡位置，,总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，,称为弹簧的阻尼自由振动.,
