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1、5 从力做的功到向量的数量积,物理中我们学过功的概念，一个物体在力 的作用下产生位移 （如图）,力 所做的功W可用下式计算: 其中是 与 的夹角.,当090时，W0, 即力F做正功；当90时，W0，即力F不做功；当90180时，W0，即力F做负功.,从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.,1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（重点）2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.,3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用.（重点）4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（难点）,两个非零向量 和 ，作
2、 ， ，则 （ ）叫作向量 与 的夹角,思考1 如何定义向量的夹角？,计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.,探究点1 向量的数量积,由于零向量的方向是任意的，为方便起见，规定:零向量可与任一向量垂直.,，过点B 作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则,| | cos叫作向量 在 方向上的射影(也叫投影),当为锐角时，| | cos_0,思考2 什么是向量的射影？,B1,O,B,A,当=0时， | |cos=_,| |,当为钝角时，| | cos_0.,当为直角时，| |cos_0,=,O,B,A,当=180时， | | cos=_,B1,物理实例中，与位移 方向一致的分力 的长度为 co
3、s，即是力 在 方向上的射影.,-| |,思考3 平面向量的数量积的定义如何？ 已知两个向量 与 ，它们的夹角为，我们把| | |cos叫作 与 的数量积（或内积）.记作 =| | | cos,注意：向量的数量积是一个数量.,特别地:零向量与任一向量 的数量积为0., 已知 =(1,1), =(2,0), 与 的夹角= 45. 求 .,例1 已知| |=3，| |=4，且 与 的夹角=150，求 .,解： =| | |cos=34cos150 =34（- ）=6,解： | | = , | |=2, =45,所以 =| | |cos= 2cos45= 2.,思考4 数量积的几何意义是什么？,特别
4、提醒：1.2.若 是单位向量,则,重要性质：1.若 是单位向量，则：2.3.4.5.当且仅当 时等号成立.,思考5 数量积的物理意义是什么？,反之成立吗？,解答：不成立.,解答：成立.,思考：,探究点2 向量的数量积的运算律,练习：判断下列说法的正误,3若 ， =0，则 =,2若 ，则对任一非零向量 ,有 0,1若 = ，则对任一向量 ，有 = 0 ,4若 =0，则 , 中至少有一个为 ,5若 ， = ，则 =,6若 = ,且 ,当且仅当 = 时成立,7对任意向量 有,例2 在ABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：a=b+c2 bccosA，b=c+a2cacosB，c=
5、a+b2abcosC.,证明：设 则,同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.,=b+c2 bccosA.,向量法证明几何问题的步骤：1.将三角形的边用有向线段表示.2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系.3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.,例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.,证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于,可得,=0，所以，,即菱形的两条对角线互相垂直.,A,B,C,D,O,证明线段垂直的方法：1.取两个不共线的向量作基底.2.将要证明的向量用这两个向量表示.3.利用 进行证明.,【提升总结】,例4 已知单位向量 , 的夹角为60，求向量 , 的夹角
6、.,解：由单位向量 , 的夹角为60，得,又,设 与 的夹角为 ， 由可得,又 所以 . 即向量 与 的夹角为 .,技巧点拨： 1.以 ， 为基底,计算 的值.2.利用向量的夹角公式计算.,1.判断下列说法的正误:（1）平面向量的数量积可以比较大小. ( )（2） ( )（3）已知 为非零向量,因为0 = ， = 0, 所以 = ( ) (4) ( ),2.ABC中， 则该三角形为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【解析】由 知ABC为锐角；由 知,ACB为钝角.,C,3.在ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，则,_.,-16,-2,4.若|a|=1,|b|=2，且a，b反向，则ab=_.,解：,本节课主要学习了：1.向量的夹角.2.向量的射影.3.向量的数量积.4.向量的数量积的几何意义和物理意义.5.向量的数量积的性质和运算律.,不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的. 贝尔奈,
