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1、传染病传播模型,人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。,传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。,模型 1（SI 模型）,假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和
2、已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。,根据假设，每个病人每天可使 s(t) 个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数Ni(t) 的增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下,进而有,再设初始时刻（t = 0）病人的比例为i0
3、，则由 s(t) + i(t) = 1，得到初值问题,初值问题的解为,可画出 i(t) t 和 di/dt i 的图形为,i(t) t 的图形,di/dt i 的图形,于是可知： 当 t 时，i1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。, 然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i = 1/2时，di/dt 达到最大值 (di/dt)m，这个时刻为,这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。,
4、 还可以看出，tm 与 成反比。因为日接触率 表示给定地区的卫生水平， 越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。,模型 2（不考虑出生和死亡的 SIS 模型）,有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模型的基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。,(2) 在疾病传播期内所考察
5、地区的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平均传染期。,如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下,于是有,记初始时刻的病人的比例 i0（i0 0），从而 SI模型可以修正为,我们称之为 Bernolli（贝努里）方程的初值问题，其解析解为,其中 = /。 由 和 1/ 的含义可知， 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人
6、数，称为接触数。于是有,我们画出 di/dt i 和 i t 的图形为,di/dt i 的图形（ 1）,i(t) t 的图形（ 1）,di/dt i 的图形（ 1）,i(t) t 的图形（ 1）,模型 3（考虑出生和死亡的 SIS 模型）,当传染病的传播周期比较长时，若不考虑出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况的 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。,(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生
7、率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，则人口的平均寿命为 1/。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/ 称为这种传染病的平均传染期。,在上述的假设条件下，人员流程图如下,于是有,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 0）和 i0（i0 0），从而考虑出生和死亡的 SIS 模型为,而由 s + i = 1 有 ds/dt = di/dt，于是，上式的第二个方程变为恒等式，从而模型
8、简化为,如果令 = /(+)，则 仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的 SIS 模型相同。,模型 4（不考虑出生和死亡的 SIR 模型）,许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它们已经退出传染系统。,模型的假设条件为 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区
9、的总人数 N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。,在上述的假设条件下，人员流程图如下,由假设条件显然有s(t) + i(t) + r(t) = 1,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值问题,而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt ，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为,上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。,例如，取 = 1， = 0.3，i(0) = 0.02，s(0) = 0.98，则求得数
10、值解如下表，相应的 i(t)、s(t) 曲线和 i s 曲线如下图。,SIR 模型的i(t)、s(t) 曲线,SIR 模型的 i s 曲线,在实际应用 SIR 模型时，模型中的参数经常通过一些统计资料来估计。 事实上，能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人们经常利用定性理论从方程本身推出解的相关性质。 对于上述的 SIR 模型，就可以采用相轨线分析的方法，来获得i(t)、s(t) 的一般变化规律。（参教案，略）,模型 5（考虑出生和死亡的 SIR 模型）,模型的假设 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数 N 中占的比例分别为 s(t)，
11、i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 = /。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ，则人口的平均寿命为 1/。,在上述的假设条件下，人员流程图如下,此时由假设条件有s(t) + i(t) + r(t) = 1,记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0 0）和 i0（i0 0）（不妨设移出者的初始值 r0 = 0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR模型如下,而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = di/dt ds/dt，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为,采用相轨线分析（参见ppt资料传染病模型1模型4），可以证明：若 1，则i = 0，s = 1；若 1，则 i = ie，s = se，(ie, se) = (1/, (1)/)。,t资料传染病模型2侧重于模型分析,
