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1、一元二次方程典型应用题,新世纪教育 数学 孙老师,将实际问题抽象为数学问题，数学建模能力的过程,复习问题，提出新知,1.列方程解应用题的基本步骤怎样？（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。审一步列一步！ （2）设未知数：根据题意，可直接设未知数（求谁设谁），也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。 （3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。 （4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。 （5）检验答案：解应用题
2、要检验有无增根，又要检验是否符合题意以及实际生活中的常识，最后做出符合题目要求的答案。.,注意：（1）在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的中心，发现等量关系是列方程的关键！。,(2)在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下两个条件： a,方程两边表示同类量数值相等 b,方程两边的同类量的单位一样,一元二次方程常见应用题有哪些型？,（1）销售增长率 （2）销售定价问题（3）储蓄利率问题 （4）几何问题（5）数字与方程 （6）年龄问题 (7) 趣味问题 (8)情景对话,解一元二次方程有哪些方法？,直接开平方法配方法公式法因式分解法,还记得吗？,销售增长率问题,恒利商厦九月份的销售额为20
3、0万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.,分析：本题设这两个月的平均增长率是x，十月份的销售额为200（1-20%）万元，十一月份的销售额为200（1-20%）（1+x）万元，十二月份在十一月份的基础上增加x，变为200（1-20%）（1+x）（1+x）即200（1-20%）（ 万元，进而可列出方程，求出答案解答：解：设这两个月的平均增长率是x，十一月份的销售额达到200（1-20%）+200（1-20%）x=200（1-20%）（1+x），十二月份的销售额达到200（1-20%）（
4、1+x）+200（1-20%）（1+x）x=200（1-20%）（1+x）（1+x）=200（1-20%）（1+x）2，200（1-20%）（1+x）2=193.6，即（1+x）2=1.21，所以1+x=1.1，所以x=-11.1，即x1=0.1，x2=-2.1（舍去）答：这两个月的平均增长率是10%点评：此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍,销售定价问题,家乐福超市如果将进货价为40元的商品按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理，为了赚得8 000元的利润，你认为售价应定为多少（售价不能超过
5、进价的160%）?这时应进货多少个？ 解答这种商品销售问题时，需要明确：总利润=单利润售出商品的总量解：设此商品的单价为(50+x)元，则每个商品的利润是(50+x) -40元，销售数量为(500-l0 x)个。由题意，得(50+x)-40(500-l0 x)=8 000,整理得x2 -40 x- 300=0 解得x1=10 ,x2=30 商品售价不能超过进价的160%，取x=10. 这时应进货500 -l0 x=400（个） 故售价定为60元，这时应进货400个,销售定价问题,某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当
6、的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应定价多少元？,分析：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此时商场平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根据商场平均每天要盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，由题意，得（40-x）（20+2x）=1200，即：（x-10）（x-20）=0，解，得x1=10，x2=20，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利12O0
7、元，每件衬衫应降价20元 点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解,储蓄利率问题,王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期利率存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）,解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得90 +145x30. 解这个方程，得x10.02042.04%，x21.63.由于
8、存款利率不能为负数，所以将x21.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%.,几何问题,将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.,图3,分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和
9、恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18151/3，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图中小路的宽为3米（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，y2=18151/3，解得y15.4，y2-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系,几何动态问题,如图4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB
10、边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.,图4,分析：（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时PCQ的面积为： 122x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）ABC的面积的一半等于 12 12ACBC=12cm2，令 122x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在解答：解：（1）设xs后，可使PCQ的面积
11、为8cm2由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则1/2(6-x)2x=8整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2（2）由题意得：SABC=1/2ACBC=1/268=24，即：122x（6-x）=1/224，x2-6x+12=0，=62-412=-120，该方程无解，所以，不存在使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半的时刻点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系列出方程求解,数字与方程,1. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数
12、.,2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.,设谁？,年龄问题,读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？,解：设十位是X ，则个位数是(X+3) 两位数就表示成10X+(X+3)=11X+3 所以用“各位平方与寿符”做等量，列方程 11X+3=(X+3)2 X2-5X+6=0 (X-2)(X-3)=0 X1=2或X2=3 X1+3=5 X2+3
13、=6 可得两组解，25或36，因为已知“而立之年督东吴”（而立之年为30岁）， 所以一定比30大. ，25就要舍去。可得周瑜去世的年龄为36岁。,路程问题,1.在800米圆形跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地反向起跑，几分钟后第一次相遇？两人同时同地同向起跑，几分钟后第一次相遇？,工程问题,在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？,劳资调配问题,趣味问题,一个醉汉拿着
14、一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？,解：设竹竿的长度为X，那么X=(X-4)+(X-2)=X-8X+16+X-4X+4=2X-12X+20,平移过来，X-12X+20=0(X-10)x（X-2）=0X取10或2，由于2不符合标准，故舍去，得X=10米答：竹竿长10米。,分析：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游依题意列方程求解解答：解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游因为100025=2500027000，所以员工人数一定超过25人可得方程1000-20（x-25）x=27000整理得x2-75x+1350=0，解得x1=45，x2=30当x1=45时，1000-20（x-25）=600700，故舍去x1；当x2=30时，1000-20（x-25）=900700，符合题意答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游点评：本题考查的是一元二次方程的应用，难度不大,
