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1、2 以 2l 为周期的函数的展开式,上节讨论了以 2 为周期, 或定义在上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式, 本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的傅里叶展开式, 以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.,一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数,二、偶函数与奇函数的傅里叶级数,周期为 2l 函数 f (x),周期为 2 函数 F(t),变量代换,将F(t) 作傅里叶级数展开,f (x) 的傅里叶级数展开式,一、以2l为周期的函数的傅里叶级数,设 f 是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换:,上也可积, 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是:,就可以将 f 变换成以 为周期的关于变量 t 的函数
2、,其中,(2),(2)式分别得,与,这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数, (3),式是 f 的傅里叶级数.,知道,例1 将函数,展开成傅里叶级数.,里叶级数.根据 (4) 式,有,代入(5)式, 得,二、偶函数与奇函数的傅里叶级数,是奇函数. 因此, f 的傅里叶系数(4)是,设 f 是以 2l 为周期的偶函数, 或是定义在 上,于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项, 即,其中如 (6) 式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数.,同理, 若 f 是以 2l 为周期的奇函数, 或是定义在,上的奇函数, 类似可推得,所以当 f 是奇函数时, 它的傅里叶级数只含有正弦,函数的
3、项, 即,数.,当且 f 为奇函数时, 则它展成的正弦级数为,其中,其中,数展开成余弦级数或正弦级数? 方法如下: 首先将,上(如图15-8(a)或(b). 然后求延拓后函数的,傅里叶级数, 即得(10)或(12)形式.,也可以不作延拓直接使用公式(11)或(12), 计算出它,的傅里叶系数, 从而得到余弦级数或正弦级数.,例2 设函数,求 f 的傅里叶级数展开式.,偶函数 , 图15-9 是,这函数及其周期延,拓的图形.由于 f 是,按段光滑函数, 因此可以展开成傅里叶级数, 而且,这个级数为余弦级数. 由(10)式(这时可把其中“”,改为“ ”)知道,其中,所以,由此可得,解 函数 f 如图15-10所示,它是按段光滑函数, 因而,可以展开成正弦级数(12),其系数,例3 求定义在 上的函数,(其中0 h )的正弦展开式.,所以,(i) 正弦级数; (ii)余弦级数.,解 (i)为了把 f 展开为正弦级数,对f 做奇式周期延,拓(图15-11), 并由公式(8)有,但当 x=0, 2 时, 右边级数收敛于0.,(ii)为了将f 展开成余弦级数, 对f做偶式延拓( 图,15-12).由公式(6)得 f 的傅里叶系数为,或,读者由例4 可以看到, 同样一个函数在同样的区间,上可以用正弦级数表示 , 也可以用余弦级数表示,甚至作适当延拓后,可以用更一般的形式(5)来表示.,
