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1、第十一章圆锥曲线,第十一章圆锥曲线,第4节 求轨迹方程的专题训练,1.轨迹:一个点在空间移动,它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹.即:符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.2.求轨迹方程的方法:(1)直接法;(2)定义法;(3)相关点法;(4)参数法和交轨法等.3.求轨迹方程注意事项:求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系,正确进行化简与计算是必须具备的基本能力;求出轨迹方程后,容易忽略x的范围,导致轨迹图形出错.检验可从以下两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的实际意义.,第4节 求轨迹方
2、程的专题训练1.轨迹:一个点在空间移动,它,1.直接法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法.【解题规律】(1)如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为“建设限代化(检验)”五个步骤,但最后的证明可以省略.如果题目给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.,1.直接法:直接将条件
3、翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方,【例1】 (必修2P118)求圆的标准方程.,【解析】 圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合.而确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b)、半径为r(其中a、b、r都是常数,r0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是P=M|MA|=r,利用两点间的距离公式,写出点M的坐标适合的条件表示为:式两边平方,得:(x-a)2+(y-b)2=r2,若点M(x,y)在圆上,由上述推理可知,点M的坐标适合方程;反之,点M(x,y)的坐标适合方程,这就说明点M与圆心A的距离为r,即点M在圆心为A的圆上.,【例1】 (必修2P118
4、)求圆的标准方程. 【解析】,【例2】 (2013高考陕西卷文20)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程.【变形】 当距离关系常数不是大于1,而是小于1,或等于1是的情形呢?(对应双曲线,抛物线).(2)(略),【解析】 (1)点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍, 则 两边平方可得(x-4)2=4(x-1)2+y2,化简得3x2+4y2=12,所以,动点M的轨迹方程为,【例2】 (2013高考陕西卷文20)已知动点M(x,y)到,2.定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种特殊曲线(如直线或圆锥曲线
5、)的定义或特征,则可根据定义先设方程,再求出该曲线的相关参量,从而得到动点的轨迹方程.【解题规律】 熟悉一些常见的基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.(1)圆:在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合.(2)椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)的点的轨迹.(3)双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)的点的轨迹.(4)抛物线:到定点与定直线距离相等的点的轨迹.,2.定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种特殊曲线(如直线或,【例3】 已知点F( ,0),直线l:x=- ,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线l与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨
6、迹是( )A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线【答案】 D 【解析】 由已知得,|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线.,【例3】 已知点F( ,0),直线l:x=-,【例4】 (2016年全国高考,理20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)(略).,【解析】 (1)证明:圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而A(-1,0),|AD|=4,如图,BEAC,则C=EBD,由AC=AD=r,得
7、D=C,D=EBD,则EB=ED,则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4(定值).由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,|EA|+|EB|=4(定值).由椭圆定义可得点E的轨迹是:以A、B为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,得a=2,c=1,所以点E的轨迹方程为,【例4】 (2016年全国高考,理20)设圆x2+y2+2,3.相关点法(转移代入法):当所求动点Q是随着另一动点P(称之为相关点)而运动.如果相关点P所满足某一曲线方程,这时我们可以用动点坐标Q(x,y)表示相关点坐标P(x0,y0),再把相关点P(x0,y0)代入已知曲线方程,就把相关点所满足的方程转
8、化为所求动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或转移代入法.【解题规律】 “相关点法”的基本步骤:(1)设点:设所求的点(被动点)坐标为(x,y),相关点(主动点)坐标为(x0,y0).(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.,3.相关点法(转移代入法):当所求动点Q是随着另一动点P(称,【例5】 (必修2课本P122例5)线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求AB的中点M的轨迹.,【解析】 解题思路:如图,点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程(x
9、,y).建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,求出点M的轨迹方程.,【例5】 (必修2课本P122例5)线段AB的端点B的坐标是,第4节-求轨迹方程的专题训练-,第4节-求轨迹方程的专题训练-,4.几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然后得出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做几何法.【解题规律】 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.,4.几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动,【例7】 已知点A(-3,
10、2)、B(1,-4),过A、B作两条互相垂直的直线l1和l2,求l1和l2的交点M的轨迹方程.,【解析】 由平面几何知识可知,当ABM为直角三角形时,点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点(-1,-1),半径 可得方程为(x+1)2+(y+1)2=13.故M的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2=13.,【例7】 已知点A(-3,2)、B(1,-4),过A、B作两,【例8】 (2014高考全国新课标卷文20)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)(略).,【例8】 (2
11、014高考全国新课标卷文20)已知点P(2,5.参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的x、y之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程这种求轨迹方程的方法叫做参数法.【解题规律】(1)用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活,技巧性强,也是学生较难掌握的一类问题.(2)用参数法求解时,选用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横、纵坐标等.也可以没有具体的意义.常见的参数有:斜率、截距、定比、角、点的坐标等.(
12、3)选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响,要特别注意消参前后保持范围的等价性.(4)多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少).,5.参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的x、y之间的关系,第4节-求轨迹方程的专题训练-,第4节-求轨迹方程的专题训练-,第4节-求轨迹方程的专题训练-,第4节-求轨迹方程的专题训练-,【例10】 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO(如图所示).求AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程.,【例10】 在平面
13、直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐,第4节-求轨迹方程的专题训练-,6.交轨法:求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,这种方法称之交轨法.【解题规律】 用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即可.交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况.,6.交轨法:求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者,第4节-求轨迹方程的专题训练-,第4节-求轨迹方程的专题训练-,第4节-求轨迹方程的专题训练-,第4节-求轨迹方程的专题训练-,第4节-求轨迹方程的专题训练-,2.(
14、2009新课标文)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程;(2)若P为椭圆C的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点, =e(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.,2.(2009新课标文)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的,第4节-求轨迹方程的专题训练-,3.(必修2课本P124B组2)长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动,求线段AB的中点M的轨迹方程.,【解析】 解题思路:求轨迹方程要充分挖掘几何条件,此题中找到了OM= AB这一等量关系是此题成功的关键所在.设点M的坐标为(x,
15、y)由平面几何的中线定理:在直角三角形AOB中,M点的轨迹是以原点为圆心,以a为半径的圆,其轨迹方程是x2+y2=a2.,3.(必修2课本P124B组2)长为2a的线段的两个端点,4.已知动圆G经过点F(1,0)并且直线l:x=1相切,求动圆圆心G的轨迹方程.,【解析】 由抛物线的定义知动圆圆心G的轨迹为抛物线,F为焦点,直线l为准线,且 =1得p=2,动圆圆心G的轨迹方程为y2=4x.,4.已知动圆G经过点F(1,0)并且直线l:x=1相切,求动,5.已知ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列,且acb,|AB|=2,求顶点C的轨迹方程.,【解析】 如图,以
16、直线AB为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意,a,c,b构成等差数列,2c=a+b,即|CA|+|CB|=2|AB|=4,又|CB|CA|,C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中,a=2,c=1,b= ,故C的轨迹方程为,5.已知ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,第4节-求轨迹方程的专题训练-,7.(2013高考全国新课标卷文理科)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)(略).,【解析】 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2
17、=3.设圆心P为(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=42.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其轨迹方程为,7.(2013高考全国新课标卷文理科)已知圆M:(x+1),8.一动圆与圆O:x2+y2=1外切,而与圆C:x2+y2-6x+8=0内切,那么动圆的圆心M的轨迹是( )A.抛物线B.圆C.椭圆D.双曲线一支,【答案】 D 【解析】 令动圆半径为R,则有 则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义.故选D.,8.一动圆与圆O:x2+y2=1外切
18、,而与圆C:x2+y2-,9.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦OA,则弦的中点M的轨迹方程是 .,9.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦O,10.点M 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是 . 【答案】 y2=16x 【解析】 解题思路:点M到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,意味着点M到点F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程.依题意,点M到点F(4,0)的距离与它到直线x=-4的距离相等.则点M的轨迹是以F(4,0)为焦点、x=-4为准线的抛物线
19、.故所求轨迹方程为y2=16x.,10.点M 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离,11.已知动点P 到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程.,11.已知动点P 到定点F(1,0)和直线x=3的距,12.(2013高考陕西卷理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)(略),【解析】 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程,但要注意结合图形寻求等量关系.如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点,化简得y2=8
20、x(x0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.,12.(2013高考陕西卷理20)已知动圆过定点A(4,0),13.已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且|O1O2|=4.动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.,【解析】 解题思路:求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.利用两圆内、外切的充要条件找出点M 满足的几何条件,结合双曲线的定义求解.如
21、图所示,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|=4,得O1(-2,0)、O2(2,0).设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆O1内切,有|MO1|=r-1;由动圆M与圆O2外切,有|MO2|=r+2.|MO2|-|MO1|=3.点M的轨迹是以O1、O2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支.点M的轨迹方程为,13.已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且|O,14.(2015高考广东文理)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M 的轨迹C 的方程.,14.(20
22、15高考广东文理)已知过原点的动直线l与圆C1:,第4节-求轨迹方程的专题训练-,解题小结:本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识,转化与化归,数形结合思想和运算求解能力,属于中高档题,本题(1)(2)问相对简单,但第(2)问需注意取值范围: x3.,解题小结:本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直,15.(2016年全国,文20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.,15.(2016年全国,文20)已知抛物线C:y2=2x的,第4节-求轨迹方程的专题训练-,
