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1、专题五二次函数与几何图形的综合,二次函数与几何图形的综合题是中考压轴题的考查重点,常结合三角形、四边形等考查二次函数解析式,点的坐标,探究三角形为直角三角形、等腰三角形,三角形相似,四边形为平行四边形时是否存在满足条件的点等问题.此类题目体现中考试题的选拔功能,难度较大,是突破高分瓶颈的关键.,考点一 最值问题 一般以两条线段和的最小值或三角形、四边形周长的最小值、三角形、四边形面积最值等形式呈现.,【示范题1】(2017怀化中考)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0), B(5,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点D是y
2、轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与ABC相似,求点D的坐标.,(3)如图2,CEx轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求当四边形CHEF面积最大时点H的坐标及最大面积.,(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.,【思路点拨】(1)根据待定系数法直接求得抛物线的表达式.(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标.(3)先求出直线BC的解析式,进而求出
3、四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值.(4)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.,【自主解答】(1)点A(-1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx-5上, 抛物线的表达式为y=x2-4x-5.,(2)令x=0,则y=-5,C(0,-5),OC=OB,OBC=OCB=45,AB=6,BC=5 ,要使以B,C,D为顶点的三角形与ABC相似,则有,当 时,CD=AB=6,D(0,1);当 时, CD= 即:D的坐标为(0,1)或 .,(3)设H(t,t2-4t-5),CEx轴,点E的纵坐标为-5,点E在抛物线上,x2-4x-5=-5,x=0(舍)或x=4,E(4,
4、-5),CE=4,B(5,0),C(0,-5),直线BC的解析式为y=x-5,F(t,t-5),HF=t-5-(t2-4t-5)= CEx轴,HFy轴,CEHF,S四边形CHEF= CEHF= 故当t= 时,四边形CHEF的面积最大为 .点H的坐标为,(4)如图,K为抛物线的顶点,K(2,-9),K关于y轴的对称点K(-2,-9),M(4,m)在抛物线上,M(4,-5),点M关于x轴的对称点M(4,5),直线KM的解析式为y= ,【特别提醒】(1)两条线段和的最小值,一般是以“将军饮马”为模型,将两条线段转化为同一条线段,根据两点之间线段最短来解答.(2)图形面积最值问题一般是将面积用函数图象
5、上动点的横坐标表示出来,转化为二次函数最值问题来解答.,【变式训练】(2017天津中考)已知抛物线y=x2+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0).(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标.(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P.,当点P落在该抛物线上时,求m的值;当点P落在第二象限内,PA2取得最小值时,求m的值.,【解析】(1)抛物线y=x2+bx-3经过点A(-1,0),0=1-b-3,解得b=-2,抛物线的解析式为y=x2-2x-3.y=x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点坐标为(1,-4).,(2)由点P(m,t)在抛物线y=x2-2x-3上,有t=m2-2m-
6、3.又点P和点P关于原点对称,有P(-m,-t).点P落在抛物线y=x2-2x-3上,-t=(-m)2-2(-m)-3,即t=-m2-2m+3,m2-2m-3=-m2-2m+3,解得m1= ,m2=- .,由题意知,P(-m,-t)在第二象限,-m0,即m0,t0.又抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是(1,-4),得-4t0,过点P作PHx轴,H为垂足,有H(-m,0).又A(-1,0),t=m2-2m-3,则PH2=t2,AH2=(-m+1)2=m2-2m+1=t+4.当点A和H不重合时,在RtPAH中,PA2=PH2+AH2;当点A和H重合时,AH=0,PA2=PH2,符合上式.PA2=
7、PH2+AH2,即PA2=t2+t+4(-4t0).记y=t2+t+4,则y=,当t=- 时,y取得最小值.把t=- 代入t=m2-2m-3,得- =m2-2m-3,解得 由m0,可知m= 不符合题意.m= .,考点二 存在性问题 一般以是否存在相似三角形、直角三角形、特殊四边形的形式来呈现.,【示范题2】(2017山西中考)综合与探究如图,抛物线y= 与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连接,PQ,过点
8、Q作QDx轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E.连接PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t0).(1)求直线BC的函数表达式.(2)直接写出P,D两点的坐标(用含t的代数式表示,结果需化简).在点P,Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值.,(3)试探究在点P,Q运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点.若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.,【思路点拨】(1)先求出B,C两点的坐标,进而求出直线BC的函数表达式.(2)过点P作PGx轴于点G,由AO=3,BO=9,OC=3 ,得到CAO=60,APG=30,从而有AP=t,AG= t,PG=
9、t,得到P的坐标,由OQ=9-2t,得到D的横坐标,由D在抛物线上,得到D的纵坐标;,过点P作PHQD于点H,得到四边形PGQH是矩形,从而有QD=2HQ=2PG,解关于t的方程即可.(3)由中点坐标公式和F在直线BC上列方程求解.,【自主解答】(1)由y=0,得 解得:x1=-3,x2=9,点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(9,0).由x=0,得y=3 ,点C的坐标为(0,3 ).设直线BC的函数表达式为y=kx+b,由B,C两点的坐标得,直线BC的函数表达式为 (2) 过点P作PGx轴于点G .A(-3,0),B(9,0),C(0,3 ),AO=3,BO=9,OC=3 ,tanCAO
10、= CAO=60,APG=30,AP=t,OG= OQ=9-2t,D的横坐标为9-2t,D在抛物线上D的纵坐标为 综上所述:,过点P作PHQD于点H.QDx轴,四边形PGQH是矩形,HQ=PG.PQ=PD,PHQD,QD=2HQ=2PG.P,D两点的坐标分别为P ,解得:t1=0(舍去),t2= ,当PQ=PD时,t的值为 .,(3)点F为PD的中点,F的横坐标为 F的纵坐标为 点F在直线BC上,【特别提醒】解决“存在性”问题,一般是将函数特征和几何特征综合在一起进行研究.思路一:研究函数,可以从相关的点坐标出发,将点坐标转化为线段长,再结合其图象的几何特征,把函数特征转移到几何图形中建方程求
11、解.,思路二:研究几何图形,可以把几何图形中角度、线段长的特征转化为点坐标,把几何特征集中到函数上建方程求解.,【变式训练】1.(2017随州中考)在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.,已知抛物线y= 与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为_,点A的坐标为_,点B的坐标为_.,(2)如图,点M为线段CB上一动点,将ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若AM
12、N为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标.,(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)y= (-2,2 )(1,0).(2)抛物线与x轴负半轴交于点C,C(-3,0).过点A作AGy轴,垂足为点G.当点N在y轴上时,AMN为梦想三角形.设N(0,n),A(-2,2 ),C(-3,0),AC= ,AN=AC= ,在RtAGN中,AG2+GN2=AN2,又AG=2,GN=|n-2 |,4+(n-2 )2=13,解得n=2 -3或n=2 +
13、3,设M(m,0),当n=2 -3时,在RtMNO中,(2 -3)2+m2=(m+3)2,解得:m=2-2 ;,当n=2 +3时,在RtMNO中,(2 +3)2+m2=(m+3)2,解得:m=2+2 ;又-3m1,m=2+2 不合题意,舍去.m=2-2 ,此时n=2 -3,N(0,2 -3).当点M在y轴上时,AMN为梦想三角形,此时M与O重合,在RtAGM中,AG=2,GM=2 ,tanAMG= AMG=30,AMC=AMN=NMB=60,过点N作NPx轴于点P,在RtNMP中,MN=CM=3, 综上所述,点N的坐标为(0,2 -3)或,(3)存在.,2.(2017宜昌中考)已知抛物线y=a
14、x2+bx+c,其中2a=b0c,且a+b+c=0.(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)证明:抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限.,(3)直线y=x+m与x,y轴分别相交于B,C两点,与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于点E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得ADF与OCB相似,并且SADF= SADE,求此时抛物线的解析式.,【解析】(1)ax2+bx+c=0的一个根为1(或者-3).(2)b =2a,对称轴x=- =-1,将b=2a代入a+b+c=0,得c=-3a.方法一:2a=b0
15、c,b2-4ac0, 0,所以顶点A 在第三象限.,方法二:b=2a,c=-3a, =-4a 0,所以顶点A 在第三象限.,(3)b=2a,c=-3a,x= x1=-3,x2=1,所以函数表达式为y=ax2+2ax-3a,直线y=x+m与x轴,y轴分别相交于B,C两点,则OB=OC=|m|,所以BOC是以BOC为直角的等腰三角形,这时直线y=x+m与对称轴x=-1的夹角BAE=45.又因点F在对称轴左侧的抛物线上,则BAF45,这时BOC与ADF相似,顶点A只可能对应BOC中的直角顶点O,即ADF是以A为直角顶点的等腰三角形,且对称轴是x=-1,直线y=x+m过顶点A,所以m=1-4a,直线解析式为y=x+1-4a,解方程组这里的(-1,-4a)即为顶点A, 即为顶点D的坐标.,D点到对称轴x=-1的距离为 -1-(-1)= ,AE=|-4a|=4a,SADE= 4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角ADF的面积为1,所以底边DF =2,而x=-1是它的对称轴,这时D,C重合且在y轴上,故 -1=0,a=1,此时抛物线的解析式为y=x2+2x-3.,
