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1、An Introduction to Database System,数据库原理与应用 The Principal & Application OF Database第六章 关系数据理论,An Introduction to Database System,第六章 关系数据理论,6.1 问题的提出,6.2 规范化,6.3 数据依赖的公理系统,6.4 模式的分解,6.5 小结,An Introduction to Database System,问题的提出,8.2 关系规范化理论基础,关系数据库逻辑设计如何构造一个合适的数据模式？应该构造几个关系模式？每个关系应该由哪些属性组成？各属性的数据类型
2、是什么？数据库逻辑设计的工具关系数据库的规范化理论,An Introduction to Database System,问题的提出,一、概念回顾二、关系模式的形式化定义三、什么是数据依赖四、关系模式的简化定义五、数据依赖对关系模式影响,An Introduction to Database System,一、概念回顾,关系关系模式关系数据库关系数据库的模式,An Introduction to Database System,二、关系模式的形式化定义,关系模式由五部分组成，即它是一个五元组：R(U, D, DOM, F)R： 关系名U： 组成该关系的属性名集合D： 属性组U中属性所来自的域D
3、OM： 属性向域的映象集合F： 属性间数据的依赖关系集合,An Introduction to Database System,关系模式的简化表示,8.2 关系规范化理论基础,关系模式R（U, D, DOM, F）中，D和DOM与逻辑结构设计关系不大，因此，将关系模式简化为一个三元组：R（U, F）当且仅当U上的一个关系r 满足F时，r称为关系模式 R（U, F）的一个关系,An Introduction to Database System,三、什么是数据依赖,1.完整性约束的表现形式限定属性取值范围：例如学生成绩必须在0-100之间定义属性值间的相互关连（主要体现于值的相等与否），这就是数
4、据依赖，它是数据库模式设计的关键,An Introduction to Database System,什么是数据依赖（续）,2.数据依赖一个关系内部属性与属性之间的约束关系现实世界属性间相互联系的抽象数据内在的性质语义的体现,An Introduction to Database System,什么是数据依赖（续）,3.数据依赖的类型函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）多值依赖（Multivalued Dependency，简记为MVD）其他,An Introduction to Database System,四、关系模式的简化表示,关系模式R（U, D, D
5、OM, F）简化为一个三元组： R（U, F）当且仅当U上的一个关系r满足F时，r称为关系模式 R（U, F）的一个关系,An Introduction to Database System,五、数据依赖对关系模式的影响,例1建立一个描述学校教务的数据库：学生的学号（Sno）、所在系（Sdept）系主任姓名（Mname）、课程名（Cname）成绩（Grade）单一的关系模式 ：Student U Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade,An Introduction to Database System,数据依赖对关系模式的影响（续）,属性组U上的一组函数依赖F：F S
6、no Sdept, Sdept Mname, (Sno, Cname) Grade ,An Introduction to Database System,An Introduction to Database System,关系模式Student中存在的问题,1.数据冗余太大2. 更新异常（Update Anomalies）3. 插入异常（Insertion Anomalies）4. 删除异常（Deletion Anomalies）,An Introduction to Database System,数据依赖对关系模式的影响（续）,结论：Student关系模式不是一个好的模式。“好”的模式
7、：不会发生插入异常、删除异常、更新异常，数据冗余应尽可能少原因：由存在于模式中的某些数据依赖引起的解决方法：通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖,An Introduction to Database System,分解关系模式,把这个单一模式分成3个关系模式：S（Sno，Sdept，Sno Sdept）;SC（Sno，Cno，Grade， （Sno，Cno） Grade）;DEPT（Sdept，Mname，Sdept Mname）,An Introduction to Database System,第六章 关系数据理论,6.1 问题的提出,6.2 规范化,6.3 数据依赖的公理系统,
8、6.4 模式的分解,6.5 小结,An Introduction to Database System,6.2 规范化,规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。,An Introduction to Database System,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF,6.2 规范化,6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.1 函数依赖,函数
9、依赖的定义,1,平凡函数依赖与非平凡函数依赖,2,完全函数依赖与部分函数依赖,3,传递函数依赖,4,An Introduction to Database System,一、函数依赖的定义,定义6.1 设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称 “X函数确定Y” 或 “Y函数依赖于X”，记作XY。,An Introduction to Database System,函数依赖说明,1. 所有关系实例均要满足2. 语义范畴的概念3. 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定,
10、An Introduction to Database System,二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖,在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y，如果XY，但Y X，则称XY是非平凡的函数依赖若XY，但Y X, 则称XY是平凡的函数依赖,An Introduction to Database System,例：在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，非平凡函数依赖：(Sno, Cno) Grade平凡函数依赖： (Sno, Cno) Sno (Sno, Cno) Cno,An Introduction to Database System,平凡函数依赖与非平凡函数依赖（续）,若XY，则
11、X称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素（Determinant）。若XY，YX，则记作XY。若Y不函数依赖于X，则记作XY。,An Introduction to Database System,定义6.2在R(U)中，如果XY，并且对于X的任何一个真子集X，都有X Y, 则称Y对X完全函数依赖，记作X F Y 。若XY，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作X P Y。,三、完全函数依赖与部分函数依赖,An Introduction to Database System,例1中的完全函数依赖与部分函数依赖(Sno,Cno)Grade是完全函数依赖；(Sno,Cno)Sd
12、ept是部分函数依赖因为SnoSdept成立，且Sno是（Sno，Cno）的真子集,完全函数依赖与部分函数依赖（续）,F,P,An Introduction to Database System,定义6.3在R(U)中，如果XY，(YX) ,YX YZ， 则称Z对X传递函数依赖。记作：XZ注: 如果YX，即XY，则Z直接依赖于X，非传递依赖。,四、传递函数依赖,传递,An Introduction to Database System,例: 在关系Std(Sno, Sdept, Mname)中，有：Sno Sdept，Sdept MnameMname传递函数依赖于Sno记作： Sno Mnam
13、e,传递,An Introduction to Database System,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF,6.2 规范化,6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.2 码,定义6.4设K为R中的属性或属性组合。若K U，则K称为R的侯选码（Candidate Key）。若候选码多于一个，则选定其中的一个做为主码（Primary Key）。,F,An Introduction to Database System,码（
14、续）,主属性与非主属性包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性（Prime attribute） 不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）或非码属性（Non-key attribute）全码整个属性组U是码，称为全码（All-key）,An Introduction to Database System,码（续）,例2关系模式S(Sno,Sdept,Sage)，单个属性Sno是码，SC（Sno，Cno，Grade）中，（Sno，Cno）是码,An Introduction to Database System,例3 关系模式R（P，W，A）P：演奏者 W：作
15、品 A：听众一个演奏者可以演奏多个作品某一作品可被多个演奏者演奏听众可以欣赏不同演奏者的不同作品此关系模式的码为(P，W，A)，即All-Key,An Introduction to Database System,外部码,定义6.5关系模式 R 中属性或属性组X 并非R的码，但 X 是另一个关系模式S的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key），简称外码,An Introduction to Database System,如在SC（Sno，Cno，Grade）中，Sno不是码，但Sno是关系模式S（Sno，Sdept，Sage）的码，则Sno是关系模式SC的外部码主码与外部码一
16、起提供了表示关系间联系的手段,An Introduction to Database System,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF,6.2 规范化,6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.3 范式,范式是符合某一种级别的关系模式的集合关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同类型的范式范式的种类：,An Introduction to Database System,范式的种类,第一范式(1NF)第二
17、范式(2NF)第三范式(3NF)BC范式(BCNF)第四范式(4NF)第五范式(5NF),An Introduction to Database System,6.2.3 范式,各种范式之间存在联系：某一关系模式R为第n范式，可简记为RnNF。一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF
18、,An Introduction to Database System,6.2.4 2NF,1NF的定义如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R1NF第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式,An Introduction to Database System,例4 关系模式 S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方函数依赖包括：(Sno, Cno) F GradeSno Sdept(Sno, Cno) P
19、SdeptSno Sloc(Sno, Cno) P SlocSdept Sloc,2NF（续）换个好点的例子,An Introduction to Database System,2NF（续）,S-L-C的码为(Sno, Cno)S-L-C满足第一范式。非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno, Cno),Sno,Cno,Grade,Sdept,Sloc,分解前的关系模式S-L-C,An Introduction to Database System,S-L-C不是一个好的关系模式,S-L-C不是一个好的关系模式，会产生以下问题(1) 插入异常(2) 删除异常(3) 数据冗余度大(
20、4) 修改复杂,An Introduction to Database System,S-L-C不是一个好的关系模式（续）,原因：Sdept、 Sloc部分函数依赖于码。解决方法：S-L-C分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖 SC（Sno， Cno， Grade）S-L（Sno， Sdept， Sloc）,An Introduction to Database System,2NF（续）,分解后的函数依赖图,关系模式SC的码为（Sno，Cno）关系模式S-L的码为Sno这样非主属性对码都是完全函数依赖,An Introduction to Database System,2NF（续）,
21、定义6.6：2NF的定义若R1NF，且每一个非主属性都完全函数依赖于码，则R2NF。,An Introduction to Database System,例：S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade) 1NFS-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade) 2NF SC（Sno， Cno， Grade） 2NFS-L（Sno， Sdept， Sloc） 2NF,An Introduction to Database System,2NF（续）,采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系，可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入
22、异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。但将一个1NF关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。,An Introduction to Database System,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF,6.2 规范化,6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.5 3NF,定义6.7：3NF的定义关系模式R 中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z Y）, 使得XY，YZ成立，Y
23、 X，则称R 3NF。若R3NF，则每一个非主属性既不部分依赖于码也不传递依赖于码。,An Introduction to Database System,3NF（续）,例：2NF关系模式S-L(Sno, Sdept, Sloc)中的函数依赖关系：SnoSdeptSdept SnoSdeptSloc可得： SnoSloc，即S-L中存在非主属性对码的传递函数依赖，S-L 3NF,传递,An Introduction to Database System,3NF（续）,函数依赖图：,An Introduction to Database System,3NF（续）,解决方法采用投影分解法，把S-
24、L分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：S-D（Sno， Sdept）D-L（Sdept，Sloc）S-D的码为Sno， D-L的码为Sdept。分解后的关系模式S-D与D-L中不再存在传递依赖,An Introduction to Database System,3NF（续）,S-L(Sno, Sdept, Sloc) 2NFS-L(Sno, Sdept, Sloc) 3NFS-D(Sno，Sdept) 3NFD-L(Sdept， Sloc) 3NF,主码,主码,An Introduction to Database System,3NF（续）,采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3
25、NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，仍然不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。,An Introduction to Database System,6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF,6.2 规范化,An Introduction to Database System,6.2.6 BC范式（BCNF）,定义6.8： BC范式关系模式R1NF，若
26、XY且Y X时X必含有码，则R BCNF。等价于：每一个决定属性因素都包含码,An Introduction to Database System,BCNF（续）,若RBCNF 所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖所有的主属性对每一个不包含它的码，也是完全函数依赖没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性R BCNF R 3NF,An Introduction to Database System,BCNF（续）,例5 关系模式C（Cno，Cname，Pcno）C3NFCBCNF例6 关系模式S（Sno，Sname，Sdept，Sage）假定S有两个码Sno，SnameS3NF。S BCN
27、F,An Introduction to Database System,BCNF（续）,例7关系模式SJP（S，J，P）函数依赖：(S，J）P；(J，P）S（S，J）与（J，P）都可以作为候选码,属性相交SJP3NF，SJPBCNF,An Introduction to Database System,BCNF（续）,例8在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。函数依赖：(S，J)T，(S，T)J，TJ(S，J)和(S，T)都是候选码,An Introduction to Database System,BCNF（续）,J,An Introduction to
28、Database System,BCNF（续）,STJ3NF没有任何非主属性对码传递依赖或部分依赖STJBCNFT是决定因素，T不包含码,An Introduction to Database System,BCNF（续）,解决方法：将STJ分解为二个关系模式： ST(S，T) BCNF， TJ(T，J) BCNF 没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖,An Introduction to Database System,3NF与BCNF的关系,R BCNF R 3NF如果R3NF，且R只有一个候选码 R BCNF R 3NF,An Introduction to Database S
29、ystem,6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF,6.2 规范化,An Introduction to Database System,6.2.7 多值依赖,例9学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。每个教员可以讲授多门课程，每种参考书可以供多门课程使用。,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,非规范化关系,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,用二
30、维表表示Teaching,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,TeachingBCNFTeaching具有唯一候选码(C，T，B)， 即全码,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,Teaching模式中存在的问题(1)数据冗余度大 (2)插入操作复杂(3) 删除操作复杂(4) 修改操作复杂,存在多值依赖,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,定义6.9 设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y和Z是U的子集，并且ZUXY。关系模式R(U)
31、中多值依赖 XY成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对（x，z）值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关例 Teaching（C, T, B）,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,多值依赖的另一个等价的形式化的定义： 在R（U）的任一关系r中，如果存在元组t，s 使得tX=sX，那么就必然存在元组 w，v r，（w，v可以与s，t相同），使得wX=vX=tX，而wY=tY，wZ=sZ，vY=sY，vZ=tZ（即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在r中），则Y多值依赖于X，记为XY。 这里，X，Y是U的子集，Z=U-X-Y
32、。,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,平凡多值依赖和非平凡的多值依赖若XY，而Z，则称 XY为平凡的多值依赖否则称XY为非平凡的多值依赖,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,例10关系模式WSC（W，S，C） W表示仓库，S表示保管员，C表示商品 假设每个仓库有若干个保管员，有若干种商品 每个保管员保管所在的仓库的所有商品 每种商品被所有保管员保管,An Introduction to Database System,多值依赖（续）,An Introduction to Database Sy
33、stem,多值依赖（续）,WS且WC,用下图表示这种对应,An Introduction to Database System,多值依赖的性质,（1）多值依赖具有对称性若XY，则XZ，其中ZUXY（2）多值依赖具有传递性若XY，YZ， 则XZ Y（3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。若XY，则XY。（4）若XY，XZ，则XY Z。（5）若XY，XZ，则XYZ。（6）若XY，XZ，则XY-Z，XZ -Y。,An Introduction to Database System,多值依赖与函数依赖的区别,(1) 多值依赖的有效性与属性集的范围有关(2) 若函数依赖XY在R（U）上成立，则对于任何Y Y
34、均有XY 成立多值依赖XY若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y Y有XY 成立,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Introduction to Database System,6.2.8 4NF,定义6.10 关系模式R1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖XY（Y X），X都含有码，则R4NF。如果R 4NF， 则R BCNF不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖允许
35、的非平凡多值依赖是函数依赖,An Introduction to Database System,4NF（续）,例： Teaching(C,T,B) 4NF 存在非平凡的多值依赖CT，且C不是码用投影分解法把Teaching分解为如下两个关系模式： CT(C, T) 4NF CB(C, B) 4NF CT， CB是平凡多值依赖,An Introduction to Database System,6.2 规范化,6.2.1 函数依赖6.2.2 码6.2.3 范式6.2.4 2NF6.2.5 3NF6.2.6 BCNF6.2.7 多值依赖6.2.8 4NF6.2.9 规范化小结,An Intro
36、duction to Database System,6.2.9 规范化小结,关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具目的：尽量消除插入、删除一场，修改复杂，数据冗余基本思想：逐步消除数据依赖中不合适的部分实质：概念的单一化,An Introduction to Database System,规范化小结（续）,关系模式规范化的基本步骤 1NF 消除非主属性对码的部分函数依赖消除决定属性 2NF集非码的非平 消除非主属性对码的传递函数依赖凡函数依赖 3NF 消除主属性对码的部分和传递函数依赖 BCNF 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖 4NF,An Introduction to Data
37、base System,规范化小结（续）,不能说规范化程度越高的关系模式就越好在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止,An Introduction to Database System,第六章 关系数据理论,6.1 问题的提出,6.2 规范化,6.3 数据依赖的公理系统,6.4 模式的分解,6.5 小结,An Introduction to Database System,6.3 数据依赖的公理系统,定义6.11：逻辑蕴含对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R ，其任何一个关系r
38、，若函数依赖XY都成立, （即r中任意两元组t，s，若tX=sX，则tY=sY），则称F逻辑蕴含X Y,An Introduction to Database System,1. Armstrong公理系统,关系模式R 来说有以下的推理规则：A1.自反律（Reflexivity）：若Y X U，则X Y为F所蕴含。A2.增广律（Augmentation）：若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ为F所蕴含。A3.传递律（Transitivity）：若XY及YZ为F所蕴含，则XZ为F所蕴含。,An Introduction to Database System,定理 6.1 Armstrong推理
39、规则是正确的,（l）自反律: 若Y X U，则X Y为F所蕴含证: 设Y X U对R 的任一关系r中的任意两个元组t，s：若tX=sX，由于Y X，有ty=sy，所以XY成立，自反律得证,An Introduction to Database System,定理 6.l Armstrong推理规则是正确的（续）,(2)增广律: 若XY为F所蕴含，且Z U，则XZYZ 为F所蕴含。证：设XY为F所蕴含，且Z U。设R 的任一关系r中任意的两个元组t，s：若tXZ=sXZ，则有tX=sX和tZ=sZ；,An Introduction to Database System,由XY，于是有tY=sY，
40、所以tYZ=sYZ，所以XZYZ为F所蕴含，增广律得证。,An Introduction to Database System,定理 6.l Armstrong推理规则是正确的（续）,(3) 传递律：若XY及YZ为F所蕴含，则 XZ为 F所蕴含。证：设XY及YZ为F所蕴含。对R 的任一关系r中的任意两个元组 t，s：若tX=sX，由于XY，有tY=sY；再由YZ，有tZ=sZ，所以XZ为F所蕴含，传递律得证。,An Introduction to Database System,2. 导出规则,1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：合并规则：由XY，XZ，有XYZ。伪
41、传递规则：由XY，WYZ，有XWZ。分解规则：由XY及Z Y，有XZ。,（A2， A3）,（A2， A3）,（A1， A3）,An Introduction to Database System,导出规则,2.根据合并规则和分解规则，可得引理6.1引理6.l XA1 A2Ak成立的充分必要条件是XAi成立（i=l，2，k）,An Introduction to Database System,Armstrong公理系统,Armstrong公理系统是有效的、完备的有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中；完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据A
42、rmstrong公理推导出来,An Introduction to Database System,3. 函数依赖闭包,定义6.l2在关系模式R中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。定义6.13设F为属性集U上的一组函数依赖，X U， XF+ = A|XA能由F 根据Armstrong公理导出，XF+称为属性集X关于函数依赖集F 的闭包,An Introduction to Database System,F的闭包,F=XY, YZF+=X,Y,Z,XY,XZ,YZ,XYZ, XX, YY, ZZ,XYX,XZX,YZY,XYZX,XY,Y Z,XYY,XZY,YZZ,XY
43、ZY,XZ,YYZ,XYZ,XZZ,YZYZ,XYZZ,XXY,XYXY,XZXY,XYZXY, XXZ,XYYZ,XZXZ,XYZYZ,XYZ,XYXZ,XZXY,XYZXZ,XZYZ,XYXYZ,XZXYZ,XYZXYZ F=XA1, , XAn的闭包F+计算是一个NP完全问题,An Introduction to Database System,关于闭包的引理,引理6.2设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y U，XY能由F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y XF+用途将判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出的问题，转化为求出XF+、判定Y是否为XF+的子集的问
44、题,An Introduction to Database System,求闭包的算法,算法6.1 求属性集X（X U）关于U上的函数依赖集F 的闭包XF+ 输入：X，F输出：XF+步骤：（1）令X（0）=X，i=0（2）求B，这里B = A|( V)( W)(VWFV X（i）A W)；,An Introduction to Database System,（3）X（i+1）=BX（i） （4）判断X（i+1）= X （i）吗?（5）若相等或X（i）=U , 则X（i）就是XF+ , 算法终止。（6）若否，则 i=i+l，返回第（2）步。,An Introduction to Databas
45、e System,算法6.1,对于算法6.1， 令ai =|X（i）|，ai 形成一个步长大于1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因此该算法最多 |U| - |X| 次循环就 会终止。,An Introduction to Database System,函数依赖闭包,例1 已知关系模式R，其中U=A，B，C，D，E；F=ABC，BD，CE，ECB，ACB。求（AB）F+ 。解 设X（0）=AB；(1) X（1）=ABCD=ABCD。(2) X（0） X（1） X（2）=X（1）BE=ABCDE。(3) X（2）=U，算法终止（AB）F+ =ABCDE。,An Introductio
46、n to Database System,4. Armstrong公理系统的有效性与完备性,定理6.2 Armstrong公理系统是有效的、完备的 证明：1. 有效性 可由定理6.1得证2. 完备性只需证明逆否命题: 若函数依赖XY不能由F从Armstrong公理导出，那么它必然不为F所蕴含,An Introduction to Database System,Armstrong公理系统完备性证明,(1) 引理: 若VW成立，且V XF+，则W XF+ (2) 构造一张二维表r，它由下列两个元组构成，可以证明r必是R（U，F）的一个关系，即F+中的全部函数依赖在 r上成立。 XF+ U-XF+
47、 11.1 00.0 11.1 11.1 (3) 若XY 不能由F从Armstrong公理导出，则Y 不是XF+ 的子集。,An Introduction to Database System,5. 函数依赖集等价,定义6.14 如果G+=F+，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。引理6.3 F+ = G+ 的充分必要条件是F G+ ，和G F+ 证: 必要性显然，只证充分性。（1）若FG+ ，则XF+ XG+ 。（2）任取XYF+ 则有 Y XF+ XG+ 。 所以XY (G+）+= G+。即F+ G+。（3）同理可证G+ F+ ，所以F+ = G+。,An
48、 Introduction to Database System,6. 最小依赖集,定义6.15 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。亦称为最小依赖集或最小覆盖。 (1) F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。 (2) F中不存在这样的函数依赖XA，使得F与F-XA等价。 (3) F中不存在这样的函数依赖XA， X有真子集Z使得F-XAZA与F等价。,An Introduction to Database System,最小依赖集,例2 关系模式S，其中： U= Sno，Sdept，Mname，Cno，Grade ， F= SnoSdept，SdeptMname，(Sno
49、，Cno)Grade 设F=SnoSdept，SnoMname，SdeptMname， (Sno，Cno)Grade，(Sno，Sdept)SdeptF是最小覆盖，而F不是。因为：F - SnoMname与F 等价 F - (Sno，Sdept)Sdept也与F 等价,An Introduction to Database System,7. 极小化过程,定理6.3 每一个函数依赖集F均等价于一个极小函数依赖 集Fm。此Fm称为F的最小依赖集。证明: 构造性证明，找出F的一个最小依赖集。,An Introduction to Database System,极小化过程（续）,(1)逐一检查F中
50、各函数依赖FDi：XY，若Y=A1A2 Ak，k 2， 则用 XAj |j=1，2， k 来取代XY。(2)逐一检查F中各函数依赖FDi：XA，令G=F-XA， 若AXG+， 则从F中去掉此函数依赖。(3)逐一取出F中各函数依赖FDi：XA，设X=B1B2Bm， 逐一考查Bi （i=l，2，m），若A （X-Bi ）F+ ， 则以X-Bi 取代X。,An Introduction to Database System,极小化过程（续）,例3 F = AB，BA，BC，AC，CAFm1、Fm2都是F的最小依赖集： Fm1= AB，BC，CA Fm2= AB，BA，AC，CA F的最小依赖集Fm不
